Методы расчета нелинейных цепей

Р асчет и исследование нелинейных цепей во многих случаях производят графо-аналитическими методами, в основу которых положены законы Кирхгофа. Если ВАХ НС выражена аналитической функцией, то может быть выполнен и аналитический расчет (на основании законов Кирхгофа). При расчете нелинейных цепей вводят понятие статического и динамического (дифференциального) сопротивлений нелинейного элемента. На рис.2.2 показана построенная в масштабах m_I и m_U ВАХ некоторого элемента. Пусть его работа происходит в точке а. Тогда статическое сопротивление в данной точке будет

, где   - масштаб сопротивлений. Таким образом, R_ст пропорционально tgβ и оно всегда положительно.

Предел отношения приращения напряжения на НС к приращению тока в нём или производная dU/dI определяет динамическое сопротивление, т.е.  . Величина этого сопротивления пропорциональна тангенсу угла, образованного касательной к ВАХ в рабочей точке и осью токов. На ниспадающем участке ВАХ R_д отрицательное, т.к. положительное приращение тока сопровождается отрицательным приращением напряжения.

Метод эквивалентных схем

Метод применяется, когда НС работают на прямолинейных участках своих ВАХ. Суть метода заключается в замене НС эквивалентной схемой, состоящей из ЭДС и линейного сопротивления. Условием эквивалентности служит равенство напряжений на НС и на эквивалентной схеме при одинаковых токах. Пусть ВАХ НС имеет прямолинейный участок (рис.2.3,а), заключенный между точками а и b. Продолжим этот участок до пересечения с осью напряжений и определим величину U₀. Тогда для произвольной точки с на прямолинейном участке можно записать: U = U₀+cd_*m_U =

= U₀+ed _*tgα_*m_U = U₀+ _*tgα_*m_U = U₀+I _*tgα_*m_R = U₀+IR_д .

Этому уравнению соответствует схема, показанная на рис.2.3,б. Действительно, по второму закону Кирхгофа для этой схемы можно записать U – IR_д = U_0.

Если продолжение прямолинейного участка ВАХ пересекает ось напряжений при отрицательных значениях величиной U₀ (рис.2.3,в), то для произвольной точки с на прямолинейном участке можно записать: U = - U₀ + cd_*m_U = - U₀ + IR_д и тогда эквивалентная схема принимает вид, показанный на рис.2.3,г.

Если в сложной цепи все НС работают на прямолинейных участках своих ВАХ, то их можно позаменять эквивалентными схемами. В результате цепь становится линейной и её можно рассчитать любым известным методом расчета сложных линейных цепей постоянного тока (МУП, МКТ, МЭГ и т.д.). Однако нужно следить за тем, чтобы рабочая точка не выходила за пределы прямолинйного учаска ВАХ.

Графический метод

Метод применяется для расчета цепей, содержащих только один источник, а НС, ВАХ которых задана графиками, соединены последовательно, параллельно или смешано.

1. Расчет последовательного соединения. Пусть последовательно соединены два НС (рис.2.4,а), ВАХ которых заданы графиками. Известно также приложенное к схеме напряжение, а требуется определить ток в цепи и напряжения на элементах U₁ и U_2. На основании второго закона Кирхгофа можно записать

U = U₁ + U₂. (1)

Это выражение и положено в основу решения. На рис.2.4,б кроме заданных ВАХ НС строим зависимость I(U₁+U₂).

З адаваясь различными значениями тока и суммируя соответствующие значения U₁ и U₂. Эта зависимость представляет собой ВАХ всей цепи. Откладывая заданное напряжение, по ВАХ всей цепи определяем ток, а по ВАХ НС – U₁ и U₂ сответстенно. Определив эти величины, легко рассчитать другие, например, мощности, потребляемые НС: Р₁=IU₁; P₂=IU₂: или их статические с опротивления. Аналогично может быть произведен расчет последовательного соединения большего числа НС.

существует второй способ расчета последовательного соединения. Он также основан на использовании соотношения (1), из которого необходимо выразить либо U₁, либо U₂. Например, U₁= U-U₂ и построить зависимость I(U-U₂) (рис2.5). Она является зеркальным изображением ВАХ второго элемента относительно вертикали, проведенной через точку, соответствующую заданному напряжению, поэтому легко может быть построена. Точка пересечения ВАХ первого элемента и кривой I(U-U₂) дает решение, определяющее I, U₁ и U₂. Особенно эффективен второй способ в случае, когда один из элементов является линейным. Тогда зависимость I(U-U₂) является линейной и строится по двум точкам (ХХ и КЗ).

2. Расчет параллельного соединения. Пусть параллельно соединены два НС (рис.2.6,а), ВАХ которых заданы графиками (рис.2.6,б). Если задано подведенное напряжение, а требуется определить токи, то по ВАХ элементов находятся I₁ и I₂, а

I=I₁+I₂. (2)

Значительно сложнее решается задача, когда задан ток в неразветвленной части цепи, а остальные токи и входное напряжение нужно определить. В этом случае на основании (2) строится ВАХ п араллельного по заданной величине I определяется U, а также I₁ и I₂.

3. Расчет смешанного соединения (рис.2.7,а). Чаще всего задано входное напряжения и ВАХ всех НС (рис.2.7,б), а определять нужно токи. Записываем уравнения по законам Кирхгофа:

I₁=I₂+I₃; U=U₁+U₁₂.

Н а основании этих уравнений строим сначала ВАХ параллельного соединения (рис.2.7,б), т.е. (I₂+I₃)(U₁₂) или I₁(U₁₂). Затем строим ВАХ всей цепи I₁(U), суммируя U₁ и U₁₂ при различных значениях тока I₁. Откладывая заданное напряжение, по характеристике I₁(U) определяем ток в неразветвленной части цепи и по его значению находим U₁₂ с помощью характеристики I₁(U₁₂), а затем и токи параллельных ветвей I₁, I₂.

Метод двух узлов

Если цепь с нелинейными элементами содержит два узла или сводится к схеме с двумя узлами, то её можно рассчитывать методом двух узлов, который аналогичен методу узлового напряжения в линейных цепях. Покажем это на конкретном примере схемы рис.2.8,а.

Пусть заданы ЭДС Е₁, Е₂, Е₃ и ВАХ нелинейных элементов, а нужно определить все токи. Для простоты будем полагать, что все НС одинаковы и их ВАХ приведена на рис.2.8,б. Выберем положительные направления токов и узлового напряжения как показано на схеме. Запишем уравнения по законам Кирхгофа: I₁+I₃=I₂; U₁+U_ab=E₁; -U₂+U_ab=-E₂; U₁+U_ab=E₁. Из трех последних формул выразим U_ab : U_ab=E₁-U₁; U_ab=-E+U₂ ; U_ab=E₃-U₃. По этим выражениям, используя ВАХ НС, строим графики зависимостей I₁(U_ab), I₂(U_ab) и I₃(U_ab), а также вспомогательную характеристику (I₁+I₃)(U_ab). Там, где вспомогательная характеристика пересекается с графиком зависимости I₂(U_ab) и будет решение (см. рис.2.8,в). Решение можно получить и иначе, если в качестве вспомогательной характеристики построить график зависимости (I₁+I₃-I₂)(U_ab). Тогда ответы получим в точке, где последняя характеристика пересекает ось абсцисс.