3.2. Дисконтирование по сложным процентам ставкам

3.2.1. Математическое дисконтирование по сложной процентной ставке

Для того чтобы определить, какую денежную сумму PV следу­ет вложить под сложные проценты сегодня с целью получения в определенный момент в будущем заданной суммы FV, следует применить дисконтирование. Математический метод дисконтирования может применяться с ис­пользованием не только простой, но и сложной процентной ставки.

Выразив величину PV из формулы (1), получим формулу ма­тематического дисконтирования по сложным процентам:

(20)

где - дисконтный множитель; его значения приведены в приложении

Если проценты начисляют т раз в году, то из формулы (11) получим

(21)

Дисконт определяется о формуле

(22)

Если проценты начисляют т раз в году, то дисконт равен

(23)

Отметим, что современная (текущая) стоимость PV будущей денежной суммы FV - одна из важнейших характеристик, при­меняемых в финансовом анализе.

Задача 22. Сумма 500 тыс. р. будет выплачена через 5 лет. Определи­те ее стоимость в настоящее время при условии, что применяется слож­ная годовая процентная ставка 12 %, а проценты начисляют: 1) ежегодно; ежеквартально.

Решение. Дано: FV= ; n = ; i =

Непрерывное наращение и дисконтирование.

До сих пор мы рассматривали в качестве процентного перио­да некоторый фиксированный промежуток времени (год, квартал, месяц, день). Уменьшая этот промежуток (до часа, минуты, секун­ды) и увеличивая частоту начисления процентов, можно перейти к непрерывному наращению процентов. Пусть номинальная годовая ставка равна j. При начислении про­центов m раз в год по ставке j/m эффективную годовую ставку рассчитывают по формуле

(24)

Таким образом, за год первоначальная сумма увеличится в раз. При все более частом наращении процентов, т.е. при , используя второй «замечательный» предел, получим

(25)

где e - число Эйлера (основание натурального логарифма), е = 2,718.

Таким образом, непрерывным наращением по ставке j называ­ют увеличение суммы PV в раз за один год или в общем случае в раз за n лет.

Процентную ставку, применяемую при непрерывном начисле­нии процентов, называют силой роста и обозначают греческой буквой . Сила роста характеризует относительный прирост нара­щенной суммы за бесконечно малый промежуток времени.

В общем случае формула для расчета непрерывного нараще­ния процентов имеет вид

(26)

Эта формула верна и для случая, когда n не является целым числом.

Задач 23. На сумму 10 тыс. р. непрерывно начисляют проценты по ставке 8% годовых. Определите наращенную сумму через 3,5 года.

Решение.

Задача 24. Какую сумму следует поместить на банковский депозит, чтобы через 5 лет получить 300 тыс. р., если проценты начисляют непре­рывно по ставке 8% ?

Решение.