6. Однофазные электрические цепи. Однофазная электрическая цепь переменного тока с активным сопротивлением. Кривые тока и напряжения, мгновенной мощности. Векторная диаграмма для напряжения и тока.

Под активным сопротивлением понимают сопротивление проводников переменному току. Вследствие вытеснения тока к поверхности проводника сопротивление проводника переменному току больше, чем постоянному. При малых частотах (несколько десятков и сотен герц) увеличение сопротивления незначительно и активное сопротивление определяется по той же формуле, что и сопротивление постоянному току. При частотах в сотни тысяч и миллионы герц активное сопротивление может оказаться намного больше сопротивления постоянному току и для его определения используют соответствующие формулы.

Мгновенное значение тока в цепи с активным сопротивлением (рис. 2.6, а) определяется по закону Ома:

i = u/r.

Выразив u через амплитудное значение u = U_m sin ωt,

Рис 2.6. Электрическая цепь, содержащая резистивный элемент с активным сопротивлениемr (а), ее векторная диаграмма (б) и графики мгновенных значений u, i, p (в) 

получим

i =	Um sin ωt	= Im sin ωt,
	r

где

I_m = U_m /r.

Разделив левую и правую части на √2, получим закон Ома для цепи с активным сопротивлением, выраженный через действующие значения напряжения и тока.

I = U/r.

Из выражения (2.3) следует, что ток и напряжение совпадают по фазе. Векторная диаграмма цепи изображена на рис. 2.6, б, а график мгновенных значений тока и напряжения — на рис. 2.6,в.

Мгновенная мощность цепи равна произведению мгновенных значений напряжения и тока:

р = ui = U_m sin ωt • I_m sin ωt.

Из графика мгновенной мощности (рис. 2.6, в) видно, что мощность изменяется от нуля до Р_m, оставаясь все время положительной. Это означает, что в цепи с активным сопротивлением энергия все время поступает из сети к приемнику r и необратимо преобразуется в нем в теплоту, которая нагревает сопротивление и рассеивается в окружающей среде.

Среднее значение мощности за период

	1 T	T		1 Т	T		UmIm Т	T	1 - cos 2ωt dt = UmIm . 2 2
Pср =		∫	pdt =		∫	UmIm sin2 ωt dt =		∫
		0			0			0

Выразив амплитудные значения напряжения и тока через действующие значения, получим

P_ср = UI.

После подстановки  U = Ir будем иметь

P_ср = UI = I²r = Р.

Из выражения (2.4) вытекает, что среднее значение мощности есть электрическая мощность, которая преобразуется в активном сопротивлении в теплоту. Такую мощность называют активной и обозначают символом Р.

К приемникам активной мощности относятся также электрические двигатели, в которых электрическая мощность преобразуется в механическую мощность, развиваемую двигателем на валу.

Активная мощность измеряется ваттметром, включенным соответствующим образом в электрическую цепь переменного тока.

6. Однофазные электрические цепи. Однофазная электрическая цепь переменного тока с индуктивностью. Реактивное сопротивление. Кривые тока и напряжения, мгновенной мощности. Векторная диаграмма для напряжения и тока.

Обмотки (катушки) электрических машин, трансформаторов, магнитных усилителей, электромагнитов, реле, контакторов, индукторов электрических нагревательных устройств и печей переменного тока обладают значительной индуктивностью. В радиотехнических устройствах индуктивные катушки используются для образования колебательных контуров, электрических фильтров и т. п. Параметрами катушек являются активное сопротивление r и индуктивность L. Изменяющийся во времени ток наводит в этих катушках ЭДС самоиндукции, которая по значению во многих случаях заметно больше, чем падение напряжения на активных сопротивлениях.

Рассмотрим вначале катушку, активное сопротивление которой настолько мало, что им можно пренебречь.

Для выяснения процессов, происходящих в цепи с индуктивностью (рис. 2.7, а), допустим, что ток в индуктивности изменяется синусоидально

i = I_m sin ωt.

Рис. 2.7. Электрическая цепь, содержащая индуктивный элемент с индуктивностью L (а), ее векторная диаграмма (б) и графики мгновенных значенийu, i, p (в)

Ток вызывает в индуктивности ЭДС самоиндукции

e_L = - Ldi/dt.

Уравнение, составленное по второму закону Кирхгофа для данной цепи, имеет вид

e_L = - и.

Выразив eL и i через их значения из (2.5) и (2.6). найдем напряжение на индуктивности:

u = L	dIm sin ωt	.
	dt

Выполнив операцию дифференцирования, получим

и = ωLIm cos ωt = ωLIm sin (ωt +	π	) = Um sin (ωt +	π	).
	2		2

Из сравнения выражений (2.5) и (2.8) можно сделать вывод, что ток в цепи с индуктивностью и напряжение на индуктивности изменяются по синусоиде, а напряжение опережает по фазе ток на угол 90°.

Векторная диаграмма цепи с индуктивностью изображена на рис. 2.7, б, а графики мгновенных значений тока и напряжения — на рис. 2.7, в.

Напряжение и ток в цепи с индуктивностью, как следует из выражения (2.8), связаны соотношением

U_m = ωLI_m ,

откуда

I_m = U_m /ωL

Разделив левую и правую части (2.9) на √2, получим закон Ома для цепи переменного тока с индуктивностью.

I =	U	=	U	.
	ωL		xL

где x_L = ωL = 2πfL — индуктивное сопротивление, Ом.

Представив в (2.7) ЭДС самоиндукции и напряжение векторами, получим уравнение цепи в векторной форме для действующих значений

Ē = - Ū,

или после замены напряжения произведением тока и индуктивного сопротивления

Ē = - Īx‾_L.

Таким образом, ЭДС самоиндукции может быть выражена через ток и индуктивное сопротивление. Такой способ выражения ЭДС во многих случаях значительно упрощает анализ цепей с индуктивностью.

Мгновенная мощность цепи с индуктивностью равна

р = ui = Im sin ωt • Um sin (ωt +	π	) =	UmIm	sin 2ωt = UI sin 2ωt =Pm sin 2ωt.
	2		2

Мгновенное значение мощности (рис. 2.7, в) изменяется синусоидально с частотой, в 2 раза большей частоты тока. Амплитудное значение мощности

P_m = UI.

Легко показать аналитически и из графика рис. 2.7, в, что среднее значение мощности за период (активная мощность) равно нулю:

	1 T	T
P =		∫	ui dt = 0.
		0

Для пояснения энергетических процессов в цепи с индуктивностью используем график рис.2.7, в. В интервале времени от t = 0 (точка 1) до t= T/4 (точка 2), когда ток в цепи возрастает от 0 до I_m, электрическая энергия из сети поступает в индуктивность, преобразуется и накапливается в ней в виде энергии магнитного поля.

Наибольшее значение энергии магнитного поля будет в момент времени, соответствующий точке 2, когда ток достигает амплитудного значения.

WL =	I2mL	.
	2

Можно показать, что эта энергия равна заштрихованной площади графика р = f(t) в интервале времени между точками 1 и 2 (отмечена знаком « + ». Действительно,

	T/4		T/4	UmIm sin 2ωt dt = UmIm | -cos2ωt|0T/4 = UmIm = Im2xL = Im2ωL = Im2L . 2 2 • 2ω 2ω 2ω 2ω 2
WL =	∫	ui dt =	∫
	0		0

В интервале времени между точками 2 и 3 ток в цепи убывает. Энергия магнитного поля преобразуется в электрическую энергию и возвращается в сеть. В момент времени, соответствующий точке 3, ток и энергия магнитного поля равны нулю.

Энергия, отданная в сеть, равна заштрихованной площади графика p = f(t) в интервале времени между точками 2 и 3 (отмечена знаком « - »). Из графиков рис. 2.7, в видно, что площади, определяющие запасенную и отданную энергию, равны. Следовательно, энергия, накопленная в магнитном поле индуктивности в первую четверть периода, полностью возвращается в сеть во вторую четверть периода.

В следующую четверть периода в интервале времени между точками 3 и 4 изменяются направления тока и магнитного потока. Происходит процесс, аналогичный процессу в первую четверть периода: энергия из сети поступает в индуктивность и накапливается в ней в виде энергии магнитного поля. В последнюю четверть периода в интервале времени между точками 4и 5 энергия магнитного поля возвращается в сеть.

Таким образом, в цепи с индуктивностью происходит непрерывный периодический процесс обмена энергией между сетью (источником энергии) и индуктивностью.

6. Однофазные электрические цепи. Однофазная электрическая цепь переменного тока с емкостью. Реактивное сопротивление. Кривые тока и напряжения, мгновенной мощности. Векторная диаграмма для напряжения и тока.

В радиоэлектронных устройствах емкость является элементом колебательных контуров, фильтров, элементом связи между контурами и т. п. В силовых установках конденсаторы используют для улучшения коэффициента мощности, как элемент колебательного контура высокочастотных установок для закалки и плавки металлов. В любой электрической установке емкости образуются между проводами, проводами и землей и другими элементами токоведущих конструкций.

При большой протяженности проводов емкость может оказаться значительной, и при расчете цепей даже низкой, например промышленной, частоты ее необходимо учитывать. В высокочастотных цепях даже небольшие емкости оказывают существенное влияние на режим работы цепи и их необходимо учитывать.

Ток в цепи с емкостью (рис. 2.8, а) представляет собой движение зарядов к ее обкладкам: i = dq/dt.

Выразив в (2.10) заряд q через емкость С и напряжение на емкости и_С, из выражения

С = q/u_С

получим

i = Cdu_С /dt.

Напряжение на емкости изменяется синусоидально:

и = и_С = U_m sin ωt.

Тогда ток в цепи

i = C	dUm sin ωt	.
	dt

Взяв производную, получим мгновенное значение тока в цепи с емкостью:

(2.12)

i = ωCU_m cos ωt = I_m sin (ωt + π/2).

Сравнивая выражения (2.11) и (2.12), можно сделать вывод, что ток в емкости опережает напряжение на емкости по фазе на 90°.

Векторная   диаграмма   цепи   с   емкостью   приведена   на рис. 2.8, б, а график мгновенных значений тока и напряжения — на рис. 2.8, в.

Рис. 2.8. Электрическая цепь, содержащая емкостный элемент с ем­костью С (а), ее векторная диаграмма (б) и графики мгновенных значений u, i, p (в)

Напряжение и ток в цепи с емкостью, как следует из выражения (2.12), связаны соотношением

I_m = ωCU_m ,

Откуда

Im =	Um	.
	1/ωC

Разделив левую и правую части (2.13) на √2, получим закон Ома для цепи с емкостью:

I =	U	=	U	,
	1/ωC		хС

где х_С = 1/ωC — емкостное сопротивление, Ом.

Таким образом, напряжение на емкости в цепи переменного тока может быть выражено через произведение тока на емкостное сопротивление:

U = U_C = Iх_C .

Мгновенное значение мощности р в цепи с емкостью равно произведению мгновенных значений напряжения и тока:

Р = ui = Um sin ωtIm sin (ωt + π/2) =	UmIm	sin 2ωt = UI sin 2ωt = Pm sin 2ωt.
	2

Из полученного выражения вытекает, что мгновенная мощность изменяется по закону синуса с частотой, в 2 раза большей частоты тока, и ее амплитудное значение

Р_т = UI.

Среднее значение мощности за период (активная мощность), как видно из графика рис. 2.8, в, равно нулю:

	1 T	T
P =		∫	ui dt = 0.
		0

Для пояснения энергетических процессов в цепях с емкостью воспользуемся графиками, изображенными на рис. 2.8, в. В первую четверть периода, в интервале времени между точками 1и 2, напряжение на конденсаторе возрастает, происходит заряд конденсатора: электрическая энергия из сети поступает к конденсатору и накапливается в нем в виде энергии электрического поля. Накопленная энергия равна заштрихованной площади, ограниченной кривой р(t) (отмечена знаком « + »), и составляет

	T/4		T/4	UmIm 2		Um2C 2
WC =	∫	ui dt =	∫		sin 2ωt dt =		.
	0		0

В следующую четверть периода, в интервале времени между точками 2 и 3, ток изменяет направление, а напряжение на конденсаторе убывает. Происходит разряд конденсатора: энергия электрического поля возвращается в сеть. Энергия, возвращенная в сеть, равна площади, ограниченной кривой р (t) (отмечена знаком « - »).

Из графиков рис. 2.8, в видно, что площади, определяющие запасенную и отданную энергии, равны. Следовательно, энергия, накопленная в электрическом поле емкости в первую четверть периода, полностью возвращается в сеть во вторую четверть периода.

В следующую четверть периода, в интервале времени между точками 3 и 4, изменяется полярность напряжения на обкладках конденсатора. Происходит заряд конденсатора: электрическая энергия из сети поступает к конденсатору и накапливается в нем в виде энергии электрического поля. В последнюю четверть периода, в интервале между точками 4 и 5, происходит разряд конденсатора: энергия электрического поля возвращается в сеть.

Таким образом, в цепи с емкостью, так же как и в цепи с индуктивностью, происходит непрерывный периодический процесс обмена энергией между сетью и конденсатором.

6. Однофазные электрические цепи. Однофазная электрическая цепь переменного тока с активным сопротивлением и индуктивностью. Закон Ома для цепи переменного тока. Кривые тока и напряжения, мгновенной мощности. Векторная диаграмма для напряжения и тока.

Реальная катушка (обмотка) любого электротехнического устройства обладает определенным активным сопротивлением r и индуктивностью L. Для удобства анализа таких цепей катушку обычно изображают в виде двух идеальных элементов — резистивного r и индуктивного L, соединенных последовательно (рис. 2.9, а). Используя выводы, вытекающие из анализа идеальных цепей, участок цепи с индуктивностью L будем рассматривать как участок, обладающий индуктивным сопротивлением х_L. Уравнение напряжений, составленное по второму закону Кирхгофа для цепи с r и L, имеет вид

u = u_r + u_L.

Выразив напряжения u_r и u_L через ток i = I_m sin ωt и сопротивления участков цепи r и х_L, получим

u = Imr sin ωt + ImxL sin(ωt +	π	),
	2

Рис. 2.9. Электрическая цепь, содержащая катушку индуктивности r и L(а), ее векторная диаграмма (б), графики мгновенных значений u, i, р (в), треугольники мощностей и сопротивлений (г, д), графики мгновенных значений р_a , p_L (e)

где u_r = I_mr sin ωt — напряжение на активном сопротивлении (активное   напряжение),   совпадающее   по   фазе   с   током;   u_L = I_mx_Lsin (ωt + π/2) — напряжение на индуктивном сопротивлении   (индуктивное   напряжение),   опережающее   ток   по   фазе на 90°.

На векторной диаграмме (рис. 2.9, б) вектор  Ū_r совпадает с вектором тока, а вектор Ū_Lопережает вектор тока на 90°.

Из диаграммы следует, что вектор напряжения сети равен геометрической сумме векторов Ū_rи Ū_L:

Ū = Ū_r + Ū_L,

а его значение

U = √U_r² + U_L².

Выразив напряжения через ток и сопротивления, получим

U = √(I_r)² +(Ix_L)² = I√r² + x_L².

Последнее выражение представляет собой закон Ома цепи r, x_L

I =	U	=	U	,
	√r2 + xL2		z

где z = √r² + x_L² — полное сопротивление цепи, Ом.

Из векторной диаграммы следует, что напряжение цепи r, L опережает по фазе ток на угол φ и его мгновенное значение

u = U_m sin (ωt + φ)

Графики мгновенных значений напряжения в тока цепи изображены на рис. 2.9, в.

Угол сдвига по фазе φ между напряжением и вызванным им током определяют из соотношения

cos φ =	Ur	=	Ir	=	r	=	r	.
	U		Iz		z		√r2 + xL2

Как видно, cos φ и, следовательно, угол φ зависят только от параметров цепи r и x_L.

Разделив стороны треугольника напряжений на ток, получим треугольник сопротивлений (рис. 2.9, д), Стороны треугольника сопротивлений представляют собой отрезки, а не векторы, так как сопротивления есть постоянные, не изменяющиеся синусоидально величины.

Мгновенная мощность цепи с r и L равна произведению мгновенных значений напряжения и тока:

р = ui = I_m sin ωt U_m sin (ωt + φ).

Средняя мощность за период

	1 T	T		1 Т	T
Рср =		∫	ui dt =		∫	ImUm sin ωt • sin (ωt + φ) dt.
		0			0

Выразив произведение  синусов  через  разность  косинусов, после почленного интегрирования получим

	1 T	T	UmIm 2
Рср =		∫		[cos φ — cos(2ωt + φ)] dt = UI cos φ.
		0

Подставив в (2.16) вместо cos φ его значение из (2.15), получим

Рср = UI cos φ = UI	r	= I2r = P.
	z

Из (2.17) вытекает, что среднее значение мощности в цепи с r и L есть активная мощность, которая выделяется в активном сопротивлении r в виде теплоты.

График  мгновенной   мощности   изображен   на   рис.   2.9, в.

Для анализа энергетических процессов в цепи r, L мгновенную мощность удобно представить в виде суммы мгновенных значений активной p_a = u_ri и реактивной (индуктивной) p_L = u_Liмощностей:

p = p_a + p_L.

Графики p_a(t), p_L(t) изображены на рис. 2.9, е. График p_a(t) аналогичен графику для цепи с активным сопротивлением (см. § 2,4), а график p_L(t) — для цепи с индуктивностью L (см. § 2.5).

Таким образом, энергетические процессы в цепи с r, L можно рассматривать как совокупность процессов, происходящих в цепях только с активным сопротивлением r и только с индуктивностью L.

Из графика p_a(t) видно, что активная мощность непрерывно поступает  из сети  и выделяется в  активном  сопротивлении в виде теплоты. Она равна

	1 T	T
Р=		∫	UmrIm sin2 ωt dt = UrI = UI cos φ.
		0

Мгновенная мощность р_L, обусловленная энергией магнитного поля индуктивности, циркулирует между сетью и катушкой. Ее среднее значение за период равно нулю:

	1 T	T		π 2
РL =		∫	UmLIm sin ωt • sin (ωt +		) dt = 0.
		0

6. Однофазные электрические цепи. Однофазная электрическая цепь переменного тока с активным сопротивлением и емкостью. Закон Ома для цепи переменного тока. Кривые тока и напряжения, мгновенной мощности. Векторная диаграмма для напряжения и тока.

Используя выводы § 2.6. участок цепи с емкостью С будем представлять как участок, обладающий емкостным сопротивлением x_С . В этом случае уравнение напряжений цепи (рис. 2.10, а) имеет вид

Ū = Ū_r + Ū_С.

На рис. 2.10, б изображена векторная диаграмма цепи r и С. Вектор напряжения Ū_r совпадает с вектором тока, вектор Ū_C отстает от вектора тока на угол 90°. Из диаграммы следует, что модуль напряжения, приложенного к цепи, равен

U = √U_r² + U_C².

Выразив U_r и U_C в (2.18) через ток и сопротивления, получим

U = √(Ir)² + (Ix_C)².

откуда

U = I√r² + x_C².

Последнее выражение представляет собой закон Ома цепи r и С:

I =	U	=	U	.
	√r2+ xC2		z

где z = √r² + x_C² — полное сопротивление, Ом.

Рис. 2.10 Электрическая цепь, содержащая резис- тивный r и емкост- ный С элементы (а), ее векторная диаграмма (б), графики мгновенных значений и, i, р (в). треугольники мощностей и сопротивлений (г ид)

Из векторной диаграммы следует, что напряжение цепи r и С отстает по фазе от тока на угол φ и его мгновенное значение

u = U_т sin (ωt - φ).

Графики u(t), i(t) изображены на рис. 2.10, в. Разделив стороны треугольника напряжений (рис. 2.10, б) на ток, получим треугольник сопротивлений (рис. 2.10, д), из которого можно определить косинус угла сдвига фаз между током и напряжением

cos φ =	r	=	r	.
	z		√r2 + xC2

Мгновенная мощность цепи

р = ui = I_m sin ωt U_m sin (ωt - φ).

Средняя мощность за период

	1 T	T		1 Т	T
Pср =		∫	ui dt =		∫	ImUm sin ωt • sin (ωt - φ) dt = UIcos φ.
		0			0

Подставив в (2.20) вместо cos φ его значение из (2.19), получим

Рср = UI cos φ = UI	r	= I2r = Р.
	z

Таким образом, среднее значение мощности цепи с r, С, так же как и цепи с r, L, представляет собой активную мощность, которая выделяется в активном сопротивлении r в виде теплоты.

На рис. 2.10, в изображен график мгновенной мощности цепи с r, С.

Энергетические процессы цепи с r, С можно рассматривать как совокупность процессов, происходящих отдельно в цепи с r и С. Из сети непрерывно поступает активная мощность. Реактивная мощность, обусловленная электрическим полем емкости, непрерывно циркулирует между источником и цепью. Ее среднее значение за период равно нулю.

6. Однофазные электрические цепи. Однофазная электрическая цепь переменного тока с активным сопротивлением, индуктивностью и емкостью. Определение полного сопротивления. Треугольник сопротивлений. Векторная диаграмма для напряжения и тока.

Электрическая цепь, содержащая последовательно включенные сопротивление, индуктивность, ескость (а),

ее векторная диаграмма (б) при x_L> x_C треугольник сопротивлений (в ) цепи при x_L> x_C

векторная диаграмма (д) при x_C > x_L

треугольники сопротивлений и мощностей(e ) цепи   при   x_C > x_L

Уравнение   напряжений   для   цепи 

Векторные диаграммы для цепи рис. 2.11, а изображены на рис. 2,11, б и в. Вектор напряжения на активном сопротивлении Ū_r совпадает с вектором тока, вектор напряжения на индуктивности  Ū_L опережает вектор тока на 90°, вектор напряжения на емкости Ū_С отстает от вектора тока на 90°. Следовательно, между векторами напряжения на индуктивности и емкости образуется угол 180°.

Если x_L > х_С, то и U_L > U_С и векторная диаграмма будет иметь вид, изображенный на рис. 2.11, б, а треугольник сопротивлений — на рис. 2.11, в, где x = x_L - x_С. Если х_С > х_L, то U_C > U_L и векторная диаграмма будет иметь вид, изображенный на рис. 2.11, д, а треугольник сопротивлений — на рис. 2.11, е, где х = х_С - x_L. Значение напряжения, приложенного к цепи,

U = √(U_r)² + (U_L - U_C)².

Выразив в (2.23) напряжение через ток и сопротивления, получим

U = √(I_r)² + (Ix_L - Ix_C)² =  I√r² + (x_L - x_C)².

Последнее выражение представляет собой закон Ома для последовательной цепи r, L, С:

I =	U	=	U	.
	√r2 + (xL - xC)2		z

где z = √r² + (x_L - x_C)² = √r² + x² — полное сопротивление цепи, Ом; 

х — реактивное сопротивление цепи, Ом.

На основании проведенного анализа цепи, состоящей из последовательно соединенных r, L, С,можно сделать следующие выводы.

Если x_L > x_С, то напряжение сети опережает по фазе ток на угол φ:

u = U_m sin (ωt + φ).

Цепь имеет активно-индуктивный характер.

Цепь может быть заменена эквивалентной цепью, изображенной на рис. 2.12, а. В эквивалентной схеме r_э = r, х_э = x_L - x_С = x_Lэ.

Если x_С > x_L, то напряжение сети отстает по фазе от тока на yгол φ:

и = U_m sin (ωt - φ).

Цепь имеет активно-емкостный характер.

Цепь может быть заменена эквивалентной цепью, изображенной на рис. 2.12, б. В эквивалентной цепи r_э = r, x_э = х_C - х_L = x_Cэ.

Полное сопротивление — величина, характеризующая сопротивление электрической цепи току. Полное сопротивление синусоидальному току выражается отношением действующего напряжения U к действующему току I в этой цепи, где r и x активное и реактивное сопротивления.