1. Краткие сведения для выполнения практического задания.

Методы теории корреляции предназначены для изучения стохастической (вероятностной) зависимости между случайными величинами. В отличие от функциональной зависимости, где каждому значению аргумента соответствует строго определенное значение функции, стохастическая связь между случайными величинами предполагает, что одна из них реагирует на изменение другой путем изменения параметров или характера своего закона распределения. Примером стохастической зависимости может служить связь между отдельными показателями качества текстильных материалов, например, между линейной плотностью пряжи и ее разрывной нагрузкой при растяжении, когда определенному значению одного показателя (линейной плотности) соответствует несколько различных значений другого показателя (разрывной нагрузки).

Применение корреляционного анализа при стандартизации текстильных материалов позволяет решать следующие задачи:

• ограничивать номенклатуру нормируемых показателей качества материала или продукции. Из двух или более показателей качества, между которыми установлена тесная корреляционная связь, достаточно в стандарте дать нормы лишь по одному, так как по его значению можно судить о величине других показателей;

• заменять трудоемкие или менее точные методы испытания одних показателей качества более простыми или точными методами испытания других показателей, если установлено, что они находятся в тесной корреляционной связи с первыми;

• устанавливать нормы и допуски одних показателей качества в зависимости от норм и допусков других при условии тесной корреляционной связи между этими показателями;

• прогнозировать пределы изменения выбранного показателя качества по значению связанных с ним других показателей качества.

Для количественной оценки стохастической связи между случайными величинами в корреляционном анализе наиболее часто используют коэффициент корреляции, корреляционное отношение, показатель корреляции рангов, множественные коэффициенты корреляции и корреляционные отношения.

Расчет парного коэффициента корреляции. Коэффициент корреляции r характеризует линейную связь между двумя случайными величинами (см. формулу 31). Он является безразмерной величиной, изменяющейся в области -1< r < + 1.

При r = +1 имеет место строго линейная, прямая зависимость между случайными величинами. Если r = -1, то связь также строго линейная, но обратная, т. е. с увеличением одной случайной величины другая уменьшается. В случае r = 0 случайные величины считают линейно не коррелированными; это, однако, еще не означает, что между ними отсутствует взаимозависимость.

Определяют парный коэффициент корреляции по формуле

(3.1)

или

, (3.2)

где X_i и Y_i – значения случайных величин, между которыми исследуется корреляционная связь; и – средние значения; n – число пар значений X_i и Y_i.

Порядок расчета парного коэффициента корреляции по формуле (3.1) показан в таблице 3.1. Здесь исследуется наличие стохастической зависимости между диаметром и линейной плотностью крученых изделий из лубяных волокон.

Реальный смысл коэффициента корреляции заключается в том, что его величина выражает отношение числа факторов, общих для изучаемых случайных величин, ко всему числу факторов, вызывающих появление данных значений случайных величин. Чем ближе это отношение к единице, тем с большим основанием можно говорить об одинаковой обусловленности появления изучаемых случайных величин, т. е. тем теснее между ними корреляционная связь.

Оценка значимости коэффициента корреляции. Для оценки значимости выборочного коэффициента корреляции (насколько по его значению можно судить о корреляции в генеральной совокупности) находят величину критерия достоверности t_R по формуле

, (3.3)

где n – число пар значений случайных величин, по которым найдено r.

Таблица 3.1  Порядок расчета коэффициента корреляции

№	Xi = d, мм	a = Xi - X	a2	Yi = T, ктекс	b = Yi - Y	b2	ab
1	4,5	-6,3	39,7	12	-83	6889	522,9
2	5,1	-5,7	32,5	16	-79	6241	450,3
3	5,7	-5,1	26,0	18	-77	5929	392,7
4	6,4	-4,4	19,4	29	-66	4356	290,4
5	8,0	-2,8	7,8	39	-56	3136	156,8
6	9,6	-1,2	1,4	59	-36	1296	43,2
7	11,2	0,4	0,2	80	-15	225	-6,0
8	12,7	1,9	3,6	110	15	225	28,5
9	14,3	2,5	6,2	146	51	2601	127,5
10	15,9	5,1	26,0	174	79	6241	402,9
11	17,5	6,7	44,9	206	111	12321	743,7
12	19,1	8,3	68,9	249	154	23716	1278,2
	130		276,6	1138		73176	4431,1
Средн.	X = 10,8			Y = 95

Вывод: между исследуемыми показателями присутствует сильная корреляционная связь.

С вероятностью 0,95 можно считать, что в генеральной совокупности случайные величины коррелированны, если t_R >t_табл; значения t_табл в зависимости от n приведены в таблице 3.2.

Таблица 3.2 – Табличные значения критерия достоверности (при вероятности 0,95)

n-2	8	10	15	20	25	30	60	100
tтабл	2,31	2,23	2,13	2,09	2,06	2,04	2,00	1,96

Для данных таблицы 3.1 имеем:

Следовательно, коэффициент корреляции значим, т. е. диаметр и линейная плотность крученых изделий коррелированны.

Сравнение двух коэффициентов корреляции. Сравнительная оценка двух коэффициентов корреляции r₁ и r₂, полученных по выборкам из двух частных совокупностей, осуществляется по формуле (3.4)

_(3.4)

При |Z| < 4 можно считать, что коэффициенты корреляции r₁ и r₂ существенно не отличаются один от другого.

Пример. При разработке стандарта по фактическим данным, присланным с одного из предприятий, выпускающего крученые изделия, коэффициент корреляции между диаметром и линейной плотностью (по ассортименту, фигурирующему в таблице 3.1) составил 0,95. Требуется определить, отличается ли это значение коэффициента корреляции от того, который был принят при составлении стандарта 0,98.

По формуле (3.4) находим:

Таким образом, коэффициент корреляции между диаметром и линейной плотностью крученых изделий на данном предприятии существенно не отличается от того, который был принят при составлении стандарта. Отсюда вывод, фактические данные, полученные с предприятия, подтверждают возможность нормирования в стандарте вместо двух показателей одного, а именно линейной плотности.

Таблица 3.5  Вспомогательная таблица для расчета парного коэффициента корреляции

V (Хi), м/с	СVPH, %
	1	2	…	9	10
							-		-

Занятие 4

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОДНОРОДНОСТИ СТАТИСТИЧЕСКОГО

МАТЕРИАЛА ДЛЯ РАСЧЕТА НОРМЫ ПОКАЗАТЕЛЕЙ СВОЙСТВ МАТЕРИАЛА

Цель: Приобретение практических навыков по проведению дисперсионного анализа в стандартизации.

Задание

1. Изучить сведения для выполнения практического задания.

2. На пяти прядильных машинах вырабатывают одинаковую пряжу. Можно ли считать, с доверительной вероятностью 0,95, что прядильные машины в смысле наладки работают одинаково, если испытания образцов пряжи по разрывной нагрузке пасмами дали результаты, представленные в таблице П.2.1.

3. Можно ли считать, что данная пряжа однородна?

4. Есть ли среди данных машин хотя бы две машины, работающие одинаково ?

5. Оформить результаты расчета в виде таблицы 4.3.

6. Сделать вывод по работе.