4. Решение систем нелинейных уравнений

4.1. Основные понятия

В общем случае систему нелинейных уравнений можно представить в виде:

В отличие от систем линейных уравнений не существует прямых методов решения нелинейных систем общего вида. Лишь в отдельных случаях систему (1) можно решить непосредственно. Для решения систем нелинейных уравнений обычно используются итерационные методы. К таким методам относятся метод простой итерации и метод Ньютона.

4.1.1. Метод простой итерации

Система уравнений (1) приводится предварительно к следующему виду:

В качестве начального приближения выбирается произвольный вектор .

Для нахождения последующих приближенных решений используют формулы:

а). Метод Якоби:

где верхний индекс отмечает номер итерации.

В данном случае для расчета координат последующего приближения координаты предыдущего подставляются в формулы (2).

б). Метод Гаусса-Зейделя:

В этом методе для расчета каждой следующей координаты используются уточненные значения предыдущих координат, уже полученных на данной итерации: , а также неуточненные оставшиеся координаты: , полученные из предыдущего приближения.

в). Метод верхней релаксации:

где уточненное значение переменной по Гауссу-Зейделю, параметр релаксации, .

Достаточное условие сходимости методов простой итерации в области G для любого начального приближения , имеет вид:

4.1.2. Метод Ньютона

Применяется для систем вида (1). Пусть - начальное приближение корня. Для нахождения последующих приближений используют формулу:

где ,

обратная матрица для матрицы Якоби в точке :

Если то в достаточно малой окрестности корня итерационный процесс сходится. В качестве критерия окончания итераций используют условие , например, .

Рассмотрим отдельно случай двух уравнений с двумя неизвестными и выведем формулы для вычисления.

Пусть имеется система: и . Тогда . Обратной матрицей к Якобиану будет .

Введем обозначения , . Тогда рекурентную формулу для расчета приближенного решения можно записать в следующем матрично-векторном виде:

.

Или, после перемножения стоящих справа в этом уравнении матрицы и вектора, имеем:

.

Но

(Обозначим этот определитель символом ),

(Обозначим этот определитель символом ).

Запишем тогда в наших обозначениях формулы покоординатно:

.

4.1.3. Пример 1

Решим систему двух нелинейных уравнений методом простой итерации с применением формулы Якоби:

.

Для этого запишем ее в виде: .

В качестве начального приближения возьмем вектор . Тогда , аналогично и

.

Посчитаем норму разности двух последних приближений:

Если такая точность достаточна, то вычисления прекращают и за искомое решение принимают последнюю найденную точку, т.е. . В противном случае расчеты продолжают.

4.1.4. Пример 2

Решим ту же систему методом Ньютона, предварительно записав ее в требуемом виде . Получим:

, где

, а .

Возьмем в качестве начального приближения вблизи искомого решения. Тогда

.

Получаем . Отсюда

.

Для следующего приближения:

.

Отсюда

.

Для третьей итерации:

Отсюда

.

Сравниваем два последних приближения:

Как хорошо видно, метод Ньютона дает более быструю сходимость по сравнению с методом простой итерации.