Температурные напряжения в диске постоянной толщины

Пусть диск не вращается. Тогда комплексы a_r и a_θ в формулах (16) и (18) равны нулю, а распределение температурных напряжений описываются следующими соотношениями:

где коэффициенты A и B определяются из условий равенства нулю силовых нагрузок на периферии и расточке диска:

Закон изменения температуры по радиусу диска будем аппроксимировать функцией:

где ΔT – разность температур диска на периферии и в центре; m – постоянный показатель, m=2–4.

Принимаем, что T=0 при r=0, так как в рассматриваемом случае температурные напряжения не зависят от начала отсчета температур и определяются только ее разностью.

Определим температурные функции в формулах (36) и (37). Согласно обозначению (15)

Подставим полученные выражения (40) и (41) в общие решения (36) и (37):

Обозначив

получим

Применим граничные условия (38) к уравнению (43):

Вычтем из первого уравнения системы (45) второе:

Значение коэффициента A определим подстановкой выражения (46) во второе уравнение системы (45):

Распределение радиальных температурных напряжений по радиусу диска постоянной толщины найдем, выполнив замену коэффициентов A и B их выражениями (46) и (47) в общем решении (43),

Обозначив α=r₀/r₁, получим

Аналогично получим выражение для распределения окружных температурных напряжений по радиусу диска постоянной толщины:

В частном случае сплошного диска при r₀=0 и α=0 из уравнений (48) и (49) имеем

Распределения температурных напряжений по радиусу дисков постоянной толщины приведены на рис. 11 и рис. 12.

Максимальное по абсолютной величине значение имеет окружное напряжение на периферии диска. Так для диска без центрального отверстия окружное напряжение на периферии (r=r₁) составит

а в центре при r=0 –

то есть в m раз меньше, чем на периферии.

Влияние центрального отверстия на температурные напряжения можно установить из зависимости (49), полагая, что r=r₀:

Определим коэффициент концентрации температурных напряжений в центре диска, обусловленный наличием центрального отверстия:

При α<<1 имеем α_σT=2, то есть при центральном отверстии малого диаметра окружные температурные напряжения σ_θ на поверхности центрального отверстия диска в 2 раза больше, чем для сплошного диска.

Температурные окружные напряжения в центральной зоне диска – растягивающие. При их суммировании с динамическими окружными напряжениями увеличивается общая напряженность диска. В периферийной зоне окружные температурные напряжения – сжимающие и достигают в этой области максимальной абсолютной величины. По знаку они противоположны окружным динамическим напряжениям. Суммарные окружные напряжения в периферийной зоне и их знак зависят от максимальных температурных и динамических напряжений в диске.

Расчет дисков, посаженных на вал с натягом

Р азница радиусов вала r_в и расточки диска r_д до посадки на вал называется натягом (рис. 13):

После посадки радиус расточки возрастает на значение смещения u_д, а радиус вала уменьшается на значение смещения u_в. Таким образом,

Разделим обе части равенства (55) на r₀:

Так как u₀<<r₀, то r₀≈ r_в≈ r_д. Тогда последнее выражение примет следующий вид:

Таким образом,

где ε_θд – окружная деформация на расточке диска; ε_θв – окружная деформация на поверхности вала. Если диск и вал находятся в состоянии упругости, то деформации и соответствующие напряжения связаны соотношениями закона Гука:

Подставив выражения для окружных деформаций в формулу (56), получим

Так как радиальные напряжения на контактной поверхности посадки для вала и диска одинаковы и температурные деформации также равны, то

где σ^в_θ0 – окружное напряжение на поверхности вала; σ_θ0 –окружное напряжение на расточке диска.

Участок вала будем рассматривать как вращающейся диск с наружным радиусом r₀ при постоянной температуре с напряжением в периферийной зоне σ^в_r0, равным контактному напряжению σ_r0 на расточке диска. Влиянием малого центрального отверстия в вале можно пренебречь. Таким образом, для участка вала применим формулы для расчета напряжений в диске без центрального отверстия (22) и (23). Принимая во внимание введенные обозначения, значение окружного напряжения на поверхности вала определится как

С учетом формулы (15) имеем

Подставляя последнее выражение в (57), получаем

Соотношение (59) представляет собой граничное условие, которому должны удовлетворять напряжения в диске, посаженном на вал с натягом.

Применим условие (59) для расчета дисков постоянной толщины. Радиальные напряжения на расточке диска составляют σ_r(r₀)=σ_r0=-q, а окружные можно найти по формуле (33), т.е σ_θ(r₀)=σ_θ0=σ_θmax. Тогда выражение (59) примет следующий вид:

Учитывая формулу (15) имеем

Приведем подобные слагаемые:

Разделив обе части последнего выражения на 2, окончательно получим

Соотношение (60) связывает между собой контактное давление q, частоту вращения ω и величину натяга u₀ при ΔТ=0.

Определение натяга по заданной освобождающей частоте вращения.

Освобождающей частотой вращения диска ω_ос называется такая частота, при достижении которой контактное давление q на поверхности посадки исчезает, то есть при ω=ω_ос q=0. Тогда из уравнения (60) следует

Обычно принимают

Изменение контактного давления в зависимости от частоты вращения.

Подставим формулу (61) в выражение (60):

Выражение (63) характеризует изменение контактного давления при изменении частоты вращения в диапазоне 0≤ω≤ω_ос. При рабочей частоте ω=ω₀