Многомерное шкалирование

Задачи построения сложных субъективных шкал и их последующей связи со шкалами физических свойств стимуляции породили целый ряд методов многомерного статистического анализа, одним из которых является многомерное шкалирование.

При этом термин "шкала" подразумевает не только упорядоченное распределение варьирующего субъективного признака, но часто употребляется также в значении оси субъективного пространства. Многомерные пространства удобны как форма отображения отношений, которые могут не обнаруживаться при вербальной или числовой форме представления результатов измерения. Для применения методов многомерного шкалирования характерно получение данных в виде, например, попарных сравнений стимулов, сходству или различию которых испытуемый, руководствуясь шкалой порядка, приписывает какое-то число (ранг). Целью многомерного шкалирования является установление метрики субъективных пространств на уровне шкал отношений на основе субъективных мер сходств или различий без априорных допущений об интерпретации шкал, по которым варьируют психологические объекты. Методики многомерного шкалирования строятся на процедурах интраиндивидуальных схем сравнений разных стимулов. Иногда их также помещают в класс методов снижения размерности данных, подразумевая переход от варьируемых стимульных переменных к осям, структурирующим их описание в психологическом пространстве.

Ясно, что когда люди оценивают сложное качественное свойство объектов, такое как эмоциональное выражение лица, или когда они оценивают общее сходство сложных объектов, они ведут себя так, как если бы мерили объекты сразу по нескольким субъективным шкалам, а не по одной. Комбинируя определенным образом субъективные меры, они и осуществляют сложное суждение, подобное оценке психологического качества. Иначе говоря, сложную субъективную шкалу можно представить как систему нескольких простых субъективных шкал. Тот факт, что люди используют для объяснения некоторого качества зачастую более чем одну физическую шкалу, наводит на мысль, что субъективные шкалы также могут быть составными. Можно представить себе далее, что свои измерения по субъективным шкалам люди осуществляют какими-то не всегда осознанными методами комбинирования характеристик объектов. Поэтому вполне вероятно, что некоторые из этих субъективных шкал не соответствуют однозначно простым физическим шкалам.

При использовании методов многомерного шкалирования предполагается, что в основе сложных суждений человека лежит система из нескольких субъективных шкал, которая и формирует субъективное пространство. Когда испытуемых просят сравнить пару объектов, они ориентируются на различия между объектами по каждой субъективной шкале, и итоговая оценка различия есть величина, производная от различий по каждой шкале.

В качестве модели системы субъективных шкал обычно используется геометрическое пространство, точки которого представляют исходные стимулы. Оси геометрического пространства интерпретируются как субъективные шкалы, а шкальные величины каждого стимула - как значения координат соответствующей точки. Предполагается, что если стимулы представить как точки пространства, то субъективные оценки различий определенным образом соотносимы с расстояниями между точками в субъективном пространстве. Конкретный вид связи между субъективными различиями и межточечными расстояниями в каждом случае может быть различным. Он определяется используемой моделью субъективного расстояния, но в данном случае понятно, что два стимула, сильно различающиеся между собой, будут расположены на далеком расстоянии друг от друга в пространстве, а сходные стимулы будут находиться рядом.

Субъектам предлагали оценивать пары цветовых карт по заданному качеству (красоте). В случае многомерного шкалирования от субъекта требуется аналогичная оценка, но не самого отдельного признака, а оценки степени, общего сходства или различия между парами стимулов, по которым строится шкала межстимульных различий. Результаты подобных измерений содержат в себе всю информацию о структуре множества стимульных точек в субъективном пространстве. Вопрос заключается в том, как ее оттуда извлечь?

Рассмотрим гипотетический пример многомерного шкалирования цветоразличения. Предположим, что мы предъявили испытуемому три цветные карты (А, В и С): А - белого цвета, С - желтого и В - оранжевого. Оценки различий, которые произвел испытуемый для всех карт, следующие:

Стимулы	A	B	C
A	0	5	4
B	5	0
C	4	3	0

Возьмем в качестве модели субъективного расстояния евклидову метрику и допустим, что оценки различий связаны с расстояниями в евклидовом пространстве прямой пропорциональностью. Если данные оценки действительно основаны на одномерной шкале, мы должны расположить точки, представляющие наши цветные карты, вдоль одной оси так, чтобы расстояние между точками соответствовало оценкам различий. Это значит, что, памятуя о предположении, что оценки различий прямо соотносимы с расстояниями в субъективном пространстве, расстояние между какими-то двумя точками должно равняться сумме расстояний от этих точек до третьей. Но для данных вышеприведенной таблицы это следствие никак не может быть выполнено. Из этого следует, что три данных цвета нельзя расположить на одномерной шкале. Поскольку стимулов всего три, то они располагаются, как минимум, в двумерном пространстве, иначе говоря, оцениваются по двум шкалам. Определяя минимальную размерность пространства, которая снимает несовместимость полученных оценок, метод многомерного шкалирования позволяет обнаружить число необходимых субъективных шкал, лежащих в основе сложных суждений.

Полученные две оси субъективного пространства легко интерпретировать как две субъективные характеристики цветовых стимулов: шкалу цветового тона и шкалу цветовой насыщенности. Эта интерпретация следует из структуры цветовых точек в пространстве, построенном по данным приведенной таблицы. В соответствии с такой интерпретацией можно выбрать систему ортогональных координат и вычислить проекции точек на оси. Эти значения будут прямо соответствовать шкальным значениям цветового тона и насыщенности анализируемых стимулов.

Конечно, в подобном случае перед исследователями остается проблема физической интерпретации этих субъективных шкал, и, хотя многомерное шкалирование не предлагает однозначного решения этой проблемы, но оно все-таки является более полезным, чем процедура одномерного шкалирования. Прежде всего, определяя действительные субъективные шкалы, которые субъекты используют для оценивания объектов, а не априорный набор шкал, метод многомерного шкалирования дает исследователю больше шансов выявить физические свойства объектов, которые человек реально использует как основу для субъективных измерений. Другими словами, отношение между каждой субъективной и физической шкалой может быть определено раздельно. Кроме этого, явно определяя субъективные шкалы (даже если соответствующие физические шкалы неизвестны), эти процедуры дают полезную информацию о том, какие физические измерения необходимо сделать, чтобы попытаться найти физический коррелят субъективной шкалы.

Важное значение по отношению к задачам прикладного характера имеют особенности многомерного шкалирования, связанные с выявлением не только структуры субъективного пространства стимулов, но и возможностей определения тонких индивидуальных различий между самими испытуемыми (Клифф, 1973; Терехина, 1975; Виш и Кэрролл, 1974).

Рассмотрим это на примере тех же цветовых карт. Допустим, что, оценивая различия между картами, одни испытуемые будут больше ориентироваться на различия по цветовому тону, другие - по насыщенности, а третьи - одинаково на те и на другие.

Если все три группы испытуемых расположить в двумерном пространстве "цветовой тон - насыщенность", можно использовать, например, угол наклона луча, проходящего из точки пересечения осей через данный класс испытуемых, как некоторую основу для классификации испытуемых. Измеряя этот угол относительно оси тона, мы сможем разделить группы испытуемых по их предрасположению, к цветовому тону или насыщенности.

Естественно, что этот пример, как и все предыдущие, в значительной степени упрощен и схематизирован. Это сделано для того, чтобы подчеркнуть суть данной методики в применении к анализу индивидуальных различий, когда модель многомерного шкалирования предназначена не только для определения субъективных признаков, лежащих в основе суждений, но и для выделения более значащего из этих признаков, вносящего наибольший вклад в индивидуальные суждения.

Использование методов многомерного шкалирования как измерительных процедур предполагает знание проблем построения интраиндивидуальных экспериментов, но не анализа психологической причинности. В нем вводится геометрическая метафора для описания субъективных репрезентаций. Методически многомерное шкалирование состоит в установлении на основе субъективных сходств без априорных допущений о характере шкал, по которым варьируют психологические объекты, - их числа и конфигурации в пространстве.

Эти процедуры столь же близко стоят и к применению другого метода - моделирования, часто не предполагающего соответствия постулируемых аксиом об эмпирической реальности устанавливаемых количественных зависимостей. Выделяемые с помощью метода многомерного шкалирования субъективные шкалы могут быть:

1. интегральными, то есть отражающими объективно раздельные характеристики, которые субъективно не дифференцируемы;

2. отдельными, где психологической переменной соответствует однозначно объективируемое свойство.

Доступность пакетов компьютерной обработки данных требует от психолога владения и формальными и содержательными критериями выбора метрики пространства (например, евклидовой метрики). Формальные критерии указывают на мерность пространства, оптимально описывающего данные о сходстве психологических объектов. Содержательные критерии выбора метрики и размерности пространства формулируются исследователем на основе накопленного психологического знания в конкретной предметной области. Так, согласно Шепарду, оценки сходства психологических объектов, варьирующих по отдельным шкалам, отображаются метрикой "сити-блок", в то времякак психологические объекты, различающиеся по интегральным шкалам, отображаются евклидовым пространством.

В заключение отметим, что многомерное шкалирование претендует по существу на реконструкцию базисных составляющих многомерных зависимых переменных, а не на анализ причинных связей между независимыми и зависимыми переменными.

Типы измерительных шкал и их описание

Шкала - это форма фиксации совокупности признаков изучаемого объекта с упорядочиванием их в определенную числовую систему.

Применение шкал связывается с необходимостью качественной и количественной оценки (с задачей последующего сравнения) определенных признаков и переменных.

Признаки и переменные - это измеряемые психологические явления. Такими явлениями могут быть уровень тревожности, показатель интеллектуальной лабильности, интенсивность агрессивных реакций, социометрический статус и множество других переменных, о которых свидетельствуют особые индикаторы, внешне хорошо различимые показатели измеряемого признака, например, время решения задачи, количество допущенных ошибок, угол поворота корпуса в беседе, показатель социометрического статуса и пр.

Понятия признака и переменной могут использоваться как взаимозаменяемые. Они являются наиболее общими. Иногда вместо них используются понятия показателя или уровня, например, уровень настойчивости, показатель вербального интеллекта и др. Понятия показателя и уровня указывают на то, что признак может быть измерен количественно, так как к ним применимы определения "высокий" или низкий, например, высокий уровень интеллекта, низкие показатели тревожности и др.

Значения признака определяются (измеряются) при помощи специальных шкал измерения. В психологических измерениях используются различные классификации типов шкал. Тип шкалы определяется природой измеряемой величины.

Наиболее общая классификация измерительных шкал предложена С.Стивенсом. В ее основу положен признак метрической детерминированности. Согласно этому признаку шкалы делятся на метрические (интервальные, шкалы отношений) и неметрические (номинативные, шкалы порядка). Типы шкал обусловливаются видом функции f, осуществляющей допустимые преобразования Y = f (cp). Если f - монотонная функция, то соответствующая шкала является шкалой порядка; если f - линейная функция, то соответствующая шкала - это шкала интервалов; если f определяет преобразование подобия, то соответствующая шкала - шкала отношений.

Кроме этих видов шкал ряд специалистов выделяют также абсолютную шкалу и шкалу разностей. Номинативная измерительная шкала.

Номинативные шкалы (шкалы наименований от лат. nomen -имя, название) - шкалы, устанавливающие соответствие признака тому или иному классу. Название не измеряется количественно, оно лишь позволяет отличить один объект от другого. Пример номинативной шкалы - дихотомическая шкала, состоящая всего из двух ячеек: "мужчина/ женщина", "имеет братьев и сестер / единственный ребенок в семье"; "иностранец / соотечественник"; "проголосовал «за» / проголосовал «против»" и т.п. Признак, который изменяется по дихотомической шкале наименований, называется альтернативным. Он может принимать всего два значения.

Более сложный вариант номинативной шкапы - классификация из трех и более ячеек, например: "экстрапунитивные / интрапунитивные / импунитивные реакции" или "выбор кандидатуры А / кандидатуры Б / кандидатуры В / кандидатуры Г", или "старший / средний / младший / единственный ребенок в семье" и др.

Расклассифицировав все объекты, реакции или всех испытуемых по ячейкам классификации, мы получаем возможность от наименований перейти к числам, подсчитав количество наблюдений в каждой из ячеек. Таким образом, номинативная шкала позволяет нам подсчитывать частоты встречаемости разных "наименований", или значений признака, и затем работать с этими частотами с помощью математических методов.

Возможными операциями с числами для номинативной шкалы являются следующие:

нахождение частот распределения по пунктам шкапы с помощью процентирования или в натуральных единицах;

поиск средней тенденции по модальной частоте (модальной (Мо) называют группу с наибольшей численностью);

установление взаимосвязи между рядами свойств, расположенных неупорядоченно (с этой целью составляются специальные таблицы, посредством которых, помимо простой процентовки в них можно подсчитать критерий сопряженности признаков по Пирсону (х2).

Порядковая измерительная шкала

Порядковая шкала - шкала, классифицирующая признаки по принципу "больше / меньше". Здесь субъекты могут быть ранжированы, например, по весу или росту. В порядковой шкале должно быть не менее трех классов, например, "положительная реакция / нейтральная реакция / отрицательная реакция" или "подходит для занятия вакантной должности / подходит с оговорками / не подходит".

В порядковой шкале мы не знаем истинного расстояния между классами, а знаем лишь, что они образуют последовательность. Например, классы "подходит для занятия вакантной должности" и "подходит с оговорками" могут быть реально ближе друг к другу, чем класс "подходит с оговорками" к классу "не подходит".

От классов легко перейти к числам, если мы условимся считать, что низший класс получает ранг 1, средний класс - 2, а высший - ранг 3, или наоборот. Например, мы можем легко оценить различия между двумя выборками испытуемых по преобладанию у них более высоких или более низких рангов или подсчитать коэффициент ранговой корреляции между двумя переменными, измеренными в порядковой шкале, допустим, между оценками профессиональной компетентности руководителя, данными ему разными экспертами.

Все психологические методы, использующие ранжирование, построены на применении шкалы порядка. Если испытуемому предлагается упорядочить 18 ценностей по степени их значимости для него, проранжировать список личностных качеств социального работника или 10 претендентов на эту должность по степени их профессиональной пригодности, то во всех этих случаях испытуемый совершает так называемое принудительное ранжирование, т.е. ранжирование, при котором количество рангов соответствует количеству ранжируемых субъектов или объектов (ценностей, качеств и т.п.).

Однако если у нас имеется всего 3 возможных класса и, следовательно, 3 ранга, и при этом, скажем, 20 ранжируемых испытуемых, то некоторые из них неизбежно получат одинаковые ранги. Все многообразие жизни не может уместиться в 3 градации, поэтому в один и тот же класс могут попасть люди, достаточно серьезно различающиеся между собой.

С другой стороны, принудительное ранжирование может искусственно преувеличивать различия между людьми. Кроме того, данные, полученные в разных группах, могут изначально различаться по уровню развития исследуемого качества, и испытуемый, получивший в одной группе высший ранг, в другой получил бы всего лишь средний.

Выход из положения может быть найден, если задавать достаточно дробную классификационную систему, скажем, из 10 классов, или градаций признака. В сущности, подавляющее большинство психологических методик, использующих экспертную оценку, построено на измерении одним и тем же "аршином" из 10, 20 или даже 100 градаций разных испытуемых в разных выборках.

Итак, единица измерения в шкале порядка - расстояние в один класс или в один ранг, при этом расстояние между классами и рангами может быть разным (оно нам не известно).

При операциях с числами порядковой шкалы необходимо помнить, что интервалы в шкале не равны, поэтому числа обозначают лишь порядок следования признаков. И операции с числами - это операции с рангами, но не с количественным выражением свойств в каждом пункте.

Числа поддаются монотонным преобразованиям: их можно заменять другими с сохранением прежнего порядка (например, вместо ранжирования от 1 до 5 можно упорядочить тот же ряд в числах от 2 до 10 или от (-1) до (+1). Отношения между рангами останутся неизменными). Кроме этого, возможно использование модальных показателей, поиск средней тенденции с помощью медианы (Me), которая делит ранжированный ряд пополам.

Наиболее сильный показатель для таких шкал - корреляции рангов (по Спирмену - р или по Кендаллу - R). Ранговые корреляции указывают на наличие или отсутствие функциональных связей в двух рядах признаков, измеренных упорядоченными номинальными шкалами.

Интервальная измерительная шкала

Интервальная шкала - это шкала, классифицирующая по принципу "больше на определенное количество единиц - меньше на определенное количество единиц". Шкала представляет собой полностью упорядоченный ряд с измеренными интервалами между пунктами, причем отсчет начинается с произвольно выбранной величины. Каждое из возможных значений признака отстоит от другого на равном расстоянии. Таким образом, в шкале интервалов нулевая точка отсчета может устанавливаться произвольно, а величины единиц и направление отсчета могут определяться по избираемым константам.

Эквивалентные интервальные шкалы могут быть линейно преобразованы друг в друга, что позволяет приводить результаты тестирования к общим шкалам и таким образом осуществлять сравнение показателей. Более того, многие статистические процедуры предполагают измерения по шкале интервалов.

Главная трудность в построении таких шкал - обоснование равенства или разности дистанций между пунктами.

Можно предположить, что если мы измеряем время решения задачи в секундах, то это уже явно шкала интервалов. Однако на самом деле это не так, поскольку психологически различие в 20 секунд между испытуемым А и Б может отнюдь не равно различию в 20 секунд между испытуемыми Б и Г, если испытуемый А решил задачу за 2 секунды, Б -за 22, В - за 222, а Г - за 242. Выход может быть найден путем перевода сырых баллов в единицы стандартного отклонения, при которых определенная часть результатов будет попадать в тот или иной отрезок, приравненный к различному уровню развития измеряемого свойства.

Для интервальной шкалы применимы линейные преобразования чисел, переход от одной шкалы к шкапе другой дробности пунктов или точкой отсчета. Возможно вычисление коэффициента ранговой корреляции, а также коэффициента парной корреляции по Пирсону (г).