5. Коэффициенты множественной корреляции и детерминации

В множественной линейной регрессии показателями тесно­ты связи являются коэффициенты множественной корре­ляции и детерминации. Коэффициент множественной де­терминации равен

,

или с учетом правила сложения дисперсий,

,

где - остаточная сумма квадратов, ; - фак­торная сумма квадратов, ; - общая сумма квадратов, .

Коэффициент множественной корреляции равен корню из коэффициента множественной детерминации:

.

Оба показателя — коэффициенты множественной детерми­нации и корреляции изменяются в границах от нуля до еди­ницы. Коэффициент множественной детерминации показы­вает долю дисперсии результативной переменной в ее общей дисперсии, объясненную вариацией независимых перемен­ных, входящих в модель регрессии. При формулировке выво­дов, как правило, полученное значение умножают на 100%.

Например, для модели

,

полученной по данным примера 2, , следователь­но, вариация объясняющих переменных, входящих в урав­нение регрессии, на 73% обусловила вариацию результатив­ной переменной. Коэффициент множественной корреляции интерпретируют по степени его близости к единице: тесная связь, умеренная, слабая. Для примера 2 он составил

,

что говорит о тесной связи между зависимой и независимы­ми переменными.

Показатели тесноты связи можно рассматривать как ха­рактеристики качества аппроксимации конкретной моделью (уравнением регрессии) исследуемой зависимости. При про­чих равных условиях, чем выше или , тем выше качество аппроксимации. При интерпретации этих показателей следу­ет учитывать, что на их величину оказывают влияние как на­личие связи между показателями, так и функция, выбранная для описания связи (функция регрессии), а также соотноше­ние количества наблюдений и количества параметров урав­нения регрессии.

Очевидно, что если показатели связаны нелинейно, то чем больше кривизна функции регрессии, тем меньше будет пока­затель детерминации (и корреляции), рассчитанный для ли­нейной регрессии по тем же данным. Но усложнение функции, увеличение ее параметров при неизменном объеме наблюдений автоматически приводит к увеличению показателей тесноты связи. Это объясняется сокращением степеней свободы у оста­точной суммы квадратов. Для учета этой особенности рассчи­тывают скорректированный коэффициент детерминации

. (26)

Разделив числитель и знаменатель формулы (26) на об­щую сумму квадратов и проведя преобразования, можно по­лучить выражение, связывающее скорректированный коэф­фициент детерминации с исходным :

.

Для примера 2 скорректированный коэффициент детерминации равен

.

Скорректированный коэффициент детерминации приме­няется для оценки реальной тесноты связи между результа­том и факторами и сравнения моделей с разным числом па­раметров. В первом случае обращают внимание на близость скорректированного и нескорректированного коэффициентов детерминации. Если эти показатели близки к единице и раз­личаются незначительно, модель считается хорошей. Этот вы­вод можно отнести, в частности, к нашему примеру.

При сравнении разных моделей предпочтение, при прочих равных условиях, отдается той, у которой больше скорректи­рованный коэффициент детерминации.

Следует отметить, что область применения скорректи­рованного коэффициента детерминации ограничивается только этими задачами. Его нельзя использовать в форму­лах, где применяется обычный коэффициент детерминации. Скорректированный коэффициент детерминации нельзя ин­терпретировать как долю вариации зависимой переменной, объясненную вариацией независимых переменных, включен­ных в модель регрессии.