8. Нелинейные модели множественной регрессии

В качестве функций множественной регрессии кроме линей­ной часто используют нелинейные: полиномы разных степе­ней, обратную, степенную, показательную, полулогарифми­ческую функции:

-

полином -й степени;

- обратная функция;

- степенная функция;

- показательная функция;

полулогарифмическая функция, где - параметры функций.

Нелинейные функции могут представлять собой также «сме­шанные» модели. Например, можно построить уравнение мно­жественной регрессии с тремя независимыми переменными

.

В данном уравнении использованы две функции: показа­тельная (для учета влияния переменных и ) и степенная (для учета влияния переменной ).

При выборе формы регрессии необходимо учитывать ряд обстоятельств.

Во-первых, необходимо принимать во внимание теорети­ческие предпосылки построения модели, выводы, сформиро­ванные в экономической теории о характере взаимосвязи по­казателей, ограничениях, налагаемых на параметры функций.

Во-вторых, при выборе функции регрессии следует учиты­вать простоту оценки ее параметров, возможность их интер­претации. Все перечисленные выше нелинейные функции яв­ляются внутренне линейными, т.е. их можно преобразовать в линейную форму. Оценка параметров внутренне линейных функций производится путем применения МНК к линеаризо­ванной форме нелинейной функции.

Для функций, линейных по параметрам (многочлены вто­рой и более высоких степеней), линеаризация заключается в том, что независимые переменные, взятые во второй и бо­лее высоких степенях, рассматриваются как самостоятельные переменные. Например, функция

представляет собой множественную регрессию, в которой пере­менная представлена в линейной форме, а переменная - в нелинейной в виде многочлена второго порядка (параболы).

Эта функция линейна по параметрам. Переменная рассма­тривается как третья независимая переменная. Формально можно обозначить переменную как новую переменную :

,

т.е. линеаризация функции заключается в замене переменных.

Линеаризация функций, в которых переменные связаны мультипликативно, заключается в логарифмировании пра­вой и левой части функции по любому основанию, наиболее часто - по натуральному. Например, функция

после линеаризации путем логарифмирования принимает вид

.

Введя новые обозначения для логарифмированных величин

,

получим выражение

.

Для обратной функции вида

линеаризация заключается в следующих преобразованиях:

;

.

В некоторых нелинейных функциях параметры имеют эко­номическую интерпретацию. Например, в степенной функции коэффициенты являются коэффи­циентами эластичности зависимой переменной по соответст­вующим независимым переменным .

В показательной функции коэффициен­ты показывают, во сколько раз в среднем изменится зависимая переменная при изменении соответствующей не­зависимой переменной на единицу и при неизмен­ном значении других независимых переменных, включенных в уравнение регрессии.

Эконометрический анализ нелинейных функций: оценка параметров и их значимости, значимости функции в целом, прогнозирование, расчет показателей тесноты связи ведется по линеаризованным формам.