13 Основы теории подобия

Теория подобия – это теория подобных явлений. Из геометрии известно, что треугольники подобны, если их углы равны, а стороны пропорциональны. В теории подобия размерные величины – скорость, время заменяются безразмерными комплексами, т.е. числами подобия. Теория подобия рассматривает такие условия, когда результат модельных экспериментов можно с достоверностью перенести на действующие установки. Применительно к процессам конвективного теплообмена вводятся константы:

константа геометрии подобия: ;

константа кинематического подобия: ;

константа теплового подобия: ;

константа динамического подобия: ;

константа временного подобия: .

Все константы – величины, имеющие одно и тоже значение для подобных систем: .Подобие систем определяют теоремы подобия:

1. физические процессы подобные друг другу имеют одинаковую физическую природу и описываются одинаковыми по форме записи дифференциальными уравнениями;

2. (основная теорема подобия) у подобных явлений условия однозначности одинаковые, а числа подобия получаются из условия однозначности равными между собой (имеют одинаковое числовое значение);

3. решения дифференциального уравнения, выражающие сущность данного физического процесса, можно представить в виде функциональной зависимости между числами подобия:

– конвективный теплообмен,

– нестационарная теплопроводность.

14 Гидромеханическое и тепловое подобие

Найдём условия подобия двух потоков несжимаемой жидкости, которые описываются уравнением движения Навье-Стокса. Рассмотрим только уравнение движения для проекции скорости на ось Х:

(13.1)

Аналогично запишем для второй подобной системы (13.2) (всё с двумя штрихами). Вводим постоянные подобия (константы): ; ; ; ; ; ; .

Выражаем уравнение движения Навье-Стокса для второй подобной системы через первую с учётом постоянных подобия

(13.3) .

Из (13.3) выделим пять комплексов подобия:

(I) (II) (III) (IV) (V)

.

Для получения числа подобия разделим второй комплекс на первый: .Комплексы, составлены из констант подобия, когда справа или слева стоит 1, получили название индикатора подобия, заменяя в индикаторе подобия безразмерные константы подобия , , на размерные величины , , , получаем число подобия гомохронности или Струхаля: , (13.4) где Новыражает меру переносного или конвективного ускорения к ускорению в данной точке.

Разделив II на III получаем число подобия Фруда: , (13.5)

где Fr характеризует отношение инерционной силы в потоке к силе тяжести.

Разделив IV на II, мы получаем число подобия Эйлера: , (13.6)

где Eu отношение перепада давления в потоке жидкости к динамическому давлению потока.

Разделив II на V, получаем основное число гидромеханического подобия Рейнольдса Re:

, (13.7)

где Re характеризует режим движения потока, и представляет собой меру отношения сил инерции к силам вязкости.

Архимед, Галилей и Грасгоф являются производными числами подобия.

Тепловое подобие

Тепловое подобие – это подобие температурных полей и тепловых потоков. Рассмотрим две подобные системы (', "). Запишем уравнение энергии для одномерной задачи (температура меняется вдоль координаты Х), и уравнение теплообмена:

, ,

, .

Введём постоянные подобия (константы).

Константы подобия коэффициентов температуропроводности:

; ; ; ; ; .

Заменяя переменные второй системы через переменные первой, мы получаем дифференциальное уравнение энергии и теплообмена для второй системы, записанное через переменные первой:

.

Уравнение теплообмена: .

Выделим пять констант подобия:

(I) (II) (III) (IV) (V)

,

Разделим: .

Подставляя вместо постоянных подобия их размерные величины и произведя разделение переменных, мы получаем числа теплового подобия

Т.е. получили число подобия Фурье . (13.8)

Это безразмерное время, которое характеризует временное развитие процесса теплопроводности (относительная форма текущего времени).

– Число подобие Пекле. , (13.9)

Pe выражает соотношение между переносом теплоты за счёт конвекции и за счёт молекулярной теплопроводности.

Разделив Pe/Re получаем число Прандтля Pr: , (13.10)

Pr характеризует физические свойства среды, он табулирован в зависимости от температуры.

Разделим – получим основное число теплового подобия числа Нуссельта Nu (безразмерный коэффициент теплоотдачи): , (13.11)

Nu характеризует интенсивность теплообмена на границе раздела тепловых сред и связывает интенсивность теплоотдачи , и температурное поле  в пограничном слое потока.

Число подобия Релея: . (13.17)

Ra представляет собой критерий тепловой неустойчивости или нестабильности при свободной конвекции.

Число гомохромности или Струхаля: .

Комбинируя Nu и Pe, получаем число подобия Стантона

. (13.14)

St есть отношение конвективного теплового потока к тому тепловому потоку, который может быть перенесён потоком жидкости.