Метод ідеальної точки

Розв’язок

1.Задамо значення параметрів згідно 6 варіанту завдання:

a₁ = 2;

a₂ = 2;

a₃ = 3;

b₁ = 2;

b₂ = 2;

b₃ = 1;

d₁ = 8;

d₂ = 3;

d₃ = 1;

h₁₁ = 6;

h₁₂ = 11;

h₁₃ = 19;

h₂₁ = 12;

h₂₂ = 8;

h₂₃ = 11;

h₃₁ = 1;

h₃₂ = 1;

h₃₃ = 10;

H₁ = 860;

H₂ = 790;

H₃ = 820;

l₁ = 10;

l₂ = 10;

l₃ = 20;

Таким чином, маємо:

W₁= 2x₁ + 2x₂ + 3x₃ max;

W₂= 2x₁ + 2x₂ + x₃ max;

W₃= 8x₁ + 3x₂ + x₃ max;

де ОДР G задана нерівностями

6x₁ + 11x₂ + 19x₃ 860;

12x₁ + 8x₂ + 11x₃ 790;

x₁ + x₂ + x₃ 820;

l₁ x₁;

l₂ x₂;

l₃ x₃;

2. Використовуючи функцію “linprog” системи комп’ютерної математики MATLAB, обчислимо екстремум кожного окремого критерію на заданій ОДР G(! Пам’ятаємо, що функція “linprog” обчислює мінімум критерія):

>> A=[h₁₁ h₁₂ h₁₃;h₂₁ h₂₂ h₂₃;h₃₁ h₃₂ h₃₃]

>> b=[H₁;H₂;H3]

>> lb=[ l₁;l₂;l₃]

>> C1=[a₁ a₂ a₃]

>> C2=[b₁ b₂ b₃]

>> C3=[d₁ d₂ d₃]

Згідно варіанту маємо:

A =

6 11 19

12 8 11

1 1 10

b =

860

790

820

lb =

10

10

20

C1 =

2 2 3

C2 =

2 2 1

C3 =

8 3 1

>> [Xw1,minusW1,flag]=linprog((-1)*C1,A,b,[],[],lb,[])

W1max = -minusW1

[Xw2,minusW2,flag]=linprog((-1)*C2,A,b,[],[],lb,[])

W2max = -minusW2

[Xw3,minusW3,flag]=linprog((-1)*C3,A,b,[],[],lb,[])

W3max=-minusW3

Optimization terminated.

Xw1 =

28.9286

27.8571

20.0000

minusW1 =

-173.5714

flag =

1

W1max =

173.5714

Optimization terminated.

Xw2 =

28.9286

27.8571

20.0000

minusW2 =

-133.5714

flag =

1

W2max =

133.5714

Optimization terminated.

Xw3 =

40.8333

10.0000

20.0000

minusW3 =

-376.6667

flag =

1

W3max =

376.6667

3. Методи розв’язання задач багатокритеріальної (векторної) оптимізації.

3.1. Метод ідеальної точки.

3.1.1. Знайдемо рівняння площини da*w₁+db*w₂+dc*w₃ = dd, яка задає положення множини Парето, в системі координат W₁W₂W₃O, де

“dd” – визначник матриці d, “da” - визначник матриці a,

“db” - визначник матриці b, “dc ”- визначник матриці c:

W11=W1max;

W12=C2*Xw1;

W13=C3*Xw1;

W21=C1*Xw2;

W22=W2max ;

W23=C3*Xw2;

W31=C1*Xw3;

W32=C2*Xw3;

W33=W3max;

d=[W11 W12 W13;

W21 W22 W23;

W31 W32 W33] ;

dd=det(d)

d =

173.5714 133.5714 335.0000

173.5714 133.5714 335.0000

161.6667 121.6667 376.6667

dd =

8.5292e-004

a=[W12 W13 1;

W22 W23 1;

W32 W33 1] ;

da=det(a)

a =

133.5714 335.0000 1.0000

133.5714 335.0000 1.0000

121.6667 376.6667 1.0000

da =

4.1721e-006

b=[W13 W11 1;

W23 W21 1;

W33 W31 1] ;

db=det(b)

b =

335.0000 173.5714 1.0000

335.0000 173.5714 1.0000

376.6667 161.6667 1.0000

db =

-1.1800e-006

c= [W11 W12 1;

W21 W22 1;

W31 W32 1] ;

dc=det(c)

c =

173.5714 133.5714 1.0000

173.5714 133.5714 1.0000

161.6667 121.6667 1.0000

dc =

8.5487e-007

3.1.2. Рівняння прямої, що проходить через “точку утопії” (W11;W12;W13) в системі координат W₁W₂W₃O перпендикулярно до площини da*w₁+db*w₂+dc*w₃ = dd має вигляд:

(w1-W11)/da = (w2-W22)/db = (w3-W33)/dc.

3.1.3. Знайдемо компромісне рішення

Xkompromis=[x_1kompromis x_2kompromis x_3kompromis]

в системі координат X1X2X3O, використовуючи точку компромісного рішення

Wkompromis=[Wkompromis1 Wkompromis2 Wkompromis3]

в площині Парето da∙w₁+db∙w₂+dc∙w₃ = dd , яка найменше віддалена від точки утопії, шляхом розв’язання системи рівнянь:

da*w₁+db*w₂+dc*w₃ = dd ,

(w1-W11)/da = (w2-W22)/db,

(w1-W11)/da = (w3-W33)/dc

або

[da db dc;

db (-1)*da 0;

dc 0 (-1)* da ] =[dd;db*W11-da*W22;dc*W11-da*W33].

Остаточно маємо

Wkompromis=inv([ da db dc;

db (-1)*da 0;

dc 0 (-1)* da ])*[dd;db*W11-da*W22;dc*W11-da*W33]

Xkompromis=inv([C1;C2;C3])*Wkompromis

Wkompromis =

165.9620

135.7237

375.1075

Xkompromis =

35.8163

24.4860

15.1192