1 Инструкция по работе с учебно–методическим пособием

В разделе «Программа дисциплины» приведены темы и указывается, что необходимо знать в пределах каждой темы. В конце тем приводятся вопросы для самопроверки и литература из списка рекомендуемой литературы с указанием глав, страниц, где излагается материал темы.

Пример

Литература: [2, гл.2 с. 3-9], 4, с. 143-162],

Где 2 и 4 – порядковые номера литературных источников из списка рекомендуемой литературы.

Вариант контрольного задания выбирается по последней цифре шифра зачётной книжки. Последняя цифра шифра (0) соответствует 10 варианту в контрольном задании. В контрольной работе выполняются номера задач, оканчивающиеся на номер варианта. Например, последняя цифра 4, значит, выполняются задачи 4, 14, 24 и т.д.

2 Программа дисциплины

Тема 1. Уравнения математической физики.

Вопросы для самоконтроля

1. Классификация уравнений с частными производными второго порядка.

2. Уравнение теплопроводности.

3. Уравнение колебания струны.

Тема 2. Элементы теории функций комплексного переменного.

Вопросы для самоконтроля

1. Производная и дифференциал функции комплексного переменного.

2. Аналитическая функция.

3. Необходимые и достаточные условия для аналитичности функции.

Тема 3. Операционное исчисление

Вопросы для самоконтроля

1. Определение преобразования Лапласа. Изображение и оригинал.

2. Свойства изображений и оригиналов.

3. Операционный метод решения дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и их систем.

Тема 4. Теория вероятностей .

Вопросы для самоконтроля

1. Аксиомы теории вероятности и следствия из них.

2. Классическая вероятность.

3. Условная вероятность. Теоремы сложения и умножения вероятностей.

4. Формула полной вероятности и формула Байеса..

5. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.

6. Дискретные и непрерывные случайные величины. Их числовые характеристики.

Тема 5. Элементы математической статистики.

Вопросы для самоконтроля

1. Выборка, вычисление выборочной средней.

2. Точечные и интервальные оценки.

3. Доверительные интервалы.

3 Контрольные работы

Ниже приведены примеры выполнения расчетов.

К заданиям 1-10

Пример. Найти форму струны, определяемой уравнением , если

Решение:

Имеем

т.е.

, или

К заданиям 11-20

Пример: Представить заданную функцию w=f(z), где z=x+iy, в виде w =u(x,y)+iv(x,y); проверить, является ли она аналитической. Если да, то найти значение ее производной в заданной точке z_0.

w=(iz)³, z₀=-1+i

Решение:

Находим

Проверим условия Коши-Римана

Условия Коши-Римана выполнены. Далее, имеем

К заданиям 21-31

Пример: Разложить функцию в ряд Лорана в окрестности точки z₀=0 и определить область сходимости этого ряда.

Решение:

Представим данную функцию в виде

В окрестности точки z₀=0 выполняется неравенство , поэтому дробь можно рассматривать как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом и знаменателем

Отсюда получаем . Это разложение содержит только правильную часть. Из неравенства заключаем, что область сходимости ряда является круг .

К заданиям 31-40

Пример: Методом операционного исчисления найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

Решение: Перейдём к изображениям. Учитывая что:

и

исходное уравнение примет вид:

т.е.

преобразуем правую часть и выразим x

Теперь разложим в сумму простых дробей, выражение стоящие в правой части применяя метод неопределённых коэффициентов:

Пусть тогда

В результате получим : т.е.

С учётом последнего равенства получаем

Ответ:

К заданиям 41-50

Пример :Решить систему уравнений

x(0)=0, y(0)=5

Решение: Переходя к изображениям, имеем

Решив эту систему относительно и , получаем

и .

Для определения воспользуемся второй теоремой разложения и формулой

.

имеем

Таким образом, Аналогично находим

.

К заданиям 51-61

Пример: Для приема зачета преподаватель заготовил 50 задач: 20 задач по дифференциальному исчислению, 30 по интегральному исчислению. Для сдачи зачета студент должен решить первую же доставшую наугад задачу. Какова вероятность для студента сдать зачет, если он умеет решить 18 задач по дифференциальному исчислению и 15 задач по интегральному исчислению.

Решение:

Вероятность получить задачу по дифференциальному исчислению (событие В1) равна Р(В1) =0,4, по интегральному исчислению (событие В2)

Равна Р(В2) = 0,6. Если событие А означает, что задача решена, то

РВ (А) = 0,9, РВ (А)= 0,5. Теперь по формуле полной вероятности

Р(А)=Р(В1)РВ (А)+Р(В2) РВ (А)+…….+Р(Вп) РВ (А)

имеем

Р(А)= 0.4 0.9 + 0,6 0,5 = 0,36 + 0,3 = 0,66.

Ответ: 0,66

К заданиям 61-70

Задана непрерывная случайная величина Χ функцией распределения F(х). Требуется :

1) найти плотность распределения вероятностей f(x) ;

2) схематично построить графики функций f(x) и F(х); 3) найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины Х;

4) найти вероятность того, что Х примет значение из интервала ( ).

Решение.

1. плотность распределения случайной величины равна первой производной от функции распределения.

. Условие нормировки выполнено.

2)

3) Для нахождения математического ожидания используем формулу , где a,b начало и конец интервала, где определена плотность.

;

4)

.

Приложение. Для вычисления интегралов используем формулы.

К заданиям 71 ‑ 80

Заданы математическое ожидание а=3 и среднее квадратичное отклонение =5 нормально распределенной случайной величины Х.

1. Написать плотность распределения вероятностей и схематично построить ее график.

2. Найти вероятность того, что х примет значение из интервала (2;10).

3. Найти вероятность того, что х примет значение превышающее 10.

4. Найти интервал симметричный относительно математическое ожидание, в котором с вероятностью =0,95 будут заключены значения величины х.

Решение.

1). Составим функцию плотности распределения случайной величины Х с параметрами а=3, =5 воспользовавшись формулой

. Построим схематически график функции . Обратим внимание на то, что нормальная кривая симметрична относительно прямой х=3 и имеет max в этой точке, равный , т.е. и две точки перегиба с ординатой

Построим график

2) Воспользуемся формулой:

Значения функций найдены по таблице приложений.

3)

4) Воспользуемся формулой . По условию вероятность попадания в интервал симметричный относительно математического ожидания . По таблице найдем t, при котором Ф(t)=0,475, t=2. значит . Таким образом, . Ответ х(-1;7).

К заданиям 81 ‑ 90

Найти доверительный интервал для оценки с надежностью 0,95 неизвестного математического ожидания а нормально распределенного признака Х генеральной совокупности, если генеральное среднее квадратическое отклонение =5, выборочная средняя и объем выборки n=25.

Решение.

Требуется найти доверительный интервал .

Все величины, кроме t, известны. Найдем t из соотношения Ф(t)=0,95/2=0,475. По таблице приложения находим t=1,96. Подставив , окончательно получим искомый доверительный интервал 12,04<a<15,96.