3. Математическое моделирование размещения показателей недр.

Математическая модель — это абстрактный аналог физи­ческой модели, в которой объекты заменены математическими понятиями — переменными, параметрами, константами.

Математические модели можно разбить на три группы: де­терминированные, вероятностные и динамические.

Детерминированной моделью называют такую модель, в ко­торой отсутствует случайная компонента и каждому значению аргумента соответствует только одно значение зависимой пе­ременной.

К числу детерминированных моделей можно отнести зако­номерности и зависимости, устанавливаемые в процессе геомет­ризации, например уравнения регрессии, полиномиальные мо­дели, тренды, ряды Фурье и т. д.

В практике геометризации детерминированные модели в чи­стом виде, как правило, не встречаются. В подавляющем большинстве случаев в исходных данных присутствует случайная компонента. Поэтому исследователь имеет дело либо с вероят­ностной, либо с динамической вероятностной моделями.

К вероятностным моделям относят модели законов распре­деления случайных величин (равномерный закон распределения, нормальный, логарифмически нормальный, Вейбулла и другие).

Динамические модели, широко применяемые при геометри­зации, могут быть детерминированными и вероятностными.

Простейшим примером динамической детерминированной модели может служить синусоида у = Asin(x), в которой каж­дому значению аргумента соответствует одно, и только одно, значение функции.

Если к этому уравнению добавить случайную компоненту, то получится динамическая вероятностная модель, в которой заранее нельзя предсказать, какое именно значение примет функ­ция при том или ином значении аргумента.

Для изучения динамических рядов используют теорию слу­чайных функций, полиномиальные модели, анализ Фурье.

Применение компьютера при моделировании месторождений позволяет автоматизировать решение таких горно-геометриче­ских задач, как выявление статистических закономерностей раз­мещения и связей между показателями, подсчет запасов полез­ного ископаемого с разбивкой по сортам и категориям, учет до­бычи, потерь, разубоживания, планирование горных работ в режиме усреднения, построение горно-геометрических графи­ков размещения различных показателей месторождения, а так­же определение объемов складов и отвалов по данным маркшей­дерской съемки и т. п.

При решении этих задач на компьютере возникает пробле­ма математического отображения в памяти машины геометри­ческих параметров месторождения, размещения качественных характеристик, их математического моделирования.

Выделяют два способа представления информации в памя­ти компьютера — матричный и аналитический.

Первый способ характеризуется тем, что информация о гео­метрических и качественных характеристиках записывается в виде матрицы цифр и определенным образом располагается в памяти машины. Такие математические модели называют дис­кретными или цифровыми. Во втором способе геометрические и качественные характеристики задают в форме непрерывных функций. Формой хранения информации является аналитиче­ская модель (рис. 1.4):z₁= f₁(x,у); z₂=f₂(x,у) и z₃ =f₃(x,у).

Размещения многих геологических параметров настолько сложны, что в ряде случаев невозможно или весьма трудно представить их с помощью математических непрерывных функ­ций. К тому же многие геологические зависимости касаются качественных характеристик (например, тип или сорт пород), которые легче представить в дискретной форме.

Дискретная форма представления информации заключается в приближенном отображении моделируемой поверхности, ис­пользуя сетку прямоугольных ячеек (см. рис. 1.3, б). Так, двумер­ная модель, изображенная на рис. 1.3, б, содержит информацию как о поверхности (высота призм), так и о всем теле (располо­жение призм). Высота призм может характеризовать глубину, мощность, содержание компонента, плотность слоев, размер кон­диционных интервалов и т. п. Систематизированная таким об­разом цифровая последовательность чисел (матрица) представ­ляет собой эффективное средство накопления, хранения и пред­ставления геологической информации, т. е. цифровую модель ме­сторождения (рис. 1.5).

Цифровые модели обладают широкими возможностями опи­сания качественных и количественных характеристик, имею­щих дискретный характер (геологические нарушения, тип, сорт, содержание компонентов и т. п.).

Созданная однажды модель может быть использована при решении различных задач в любое время. Исходной информа­цией для построения модели являются данные геологоразведоч­ных работ, опробования и маркшейдерских съемок.

Рис. 1.4 - Графическая модель параметра залежи: 1,2,3 –графическое выражение функций

В настоящее время разрабо­тана система хранения и восста­новления геологической инфор­мации, а также способов ее кар­тирования — построения планов, разрезов и т. п. С ее помощью осуществляют подсчет объемов и пересчет запасов. В модели про­водят аппроксимацию поверхностей раздела тренд-поверхностя­ми в виде общей поверхности второго порядка, полученной с использованием метода наименьших квадратов.

Рис. 1.5. Цифровая модель месторождения

Построение модели месторождения начинают с выбора ус­ловной прямоугольной системы координат так, чтобы место­рождение в целом или подсчетный блок располагались в пер­вом октанте х > 0; у > 0; z > 0. Начало отсчета системы распо­лагают за пределами границ подсчетного блока. Всю площадь моделируемого подсчетного блока покрывают прямоугольной сеткой в плоскости ху. Во всех прямоугольниках вычисляют среднее значение параметра С,, которое относят к центру и счи­тают постоянным в границах прямоугольника. Значение пара­метра в элементарном прямоугольнике принимают известным, если в контуре площадки уже имеются исходные значения па­раметра. Если определить его невозможно, пользуются мето­дом интерполяции между точками с известными значениями, расположенными не дальше радиуса корреляции R. Причем, если число точек в пределах радиуса корреляции меньше мини­мального числа точек для интерполирования, то значение в рассматриваемой точке остается неопределенным, т.е. данных недостаточно. Если точек достаточно, то значения параметра определяют методом, соответствующим заданному номеру мо­дификации интерполяции — линейной, оптимальной и пр.

Построение горно-геометрических графиков является весьма ответственным и трудоемким процессом. Помимо наглядности, от графика требуется определенная точность, достигаемая большими затратами ручного труда. Развитие компьютерной технологии позволило автоматизировать эту трудоемкую про­цедуру.