6. Выполнение операций над множествами (пересечение, объединение) Пересечение множеств

Для изучения данной операции над множествами учащимся предлагается игра «Найди себя».

Учитель рисует на доске два пересекающихся овала и подписывает их: «Группа продленного дня (ГПД)» и «Мальчики» (рис. 13).

Рис. 13

Далее обозначаются получившиеся области:

- внутри первого овала, но вне второго (1);

- внутри второго овала, но вне первого (2);

- внутри обоих овалов, т.е. общая часть обоих овалов (3);

- вне обоих овалов (4).

Каждый вызванный ученик должен записать свое имя в одну из определенных областей. После заполнения всех областей нужно описать элементы каждой области:

- область 1: девочки, посещающие ГПД;

- область 2: мальчики, не посещающие ГПД;

- область 3: мальчики, посещающие продленку;

- область 4: девочки, не посещающие продленку.

В каждой области следует сосчитать число элементов и перечислить их. В конце игры учитель подводит итоги.

- У нас есть два множества: множество учеников из группы продленного дня (это все элементы из областей 1 и 3) и множество мальчиков (элементы областей 2 и 3). Но у этих множеств есть общие элементы (область 3). Это дети, которые входят и в одно и в другое множество, т.е. они посещают ГПД и являются мальчиками. Эта общая часть называется пересечением этих множеств.

Затем учащимся можно предложить следующие задания (рис. 14):

Рис. 14 [12]

Объединение множеств

Во 2 классе учащиеся знакомятся также с операцией объединения множеств, учатся определять элементы, принадлежащие объединению множеств.

Детям предлагается игра «Назови объединение» (с мячом).

Учитель перечисляет элементы, из которых ученики должны составить множество и назвать его. Учитель кидает ученику мяч, а ученик возвращает его учителю с ответом.

Примеры:

- ужи, гадюки, кобры, удавы ... - змеи;

- ромашки, розы, колокольчики… - цветы;

- березы, дубы, осины, рябины… - деревья;

- мальчики, девочки ... - дети;

- мамы, папы - родители;

- тигры, медведи, слоны, волки... - звери;

- щуки, караси, акулы, окуни... - рыбы;

- бабочки, жуки, кузнечики... - насекомые.

Затем учащимся предлагается разбить фигуры на две группы и дать группам названия. Результат разбиения изобразить графически. В результате должна получиться следующая схема (рис. 15):

Рис. 15

Учитель: Если теперь объединить эти множества в одно, то оно будет содержать все элементы обоих множеств. Такое множе­ство называется объединением двух множеств (учитель заштрихо­вывает на доске оба круга, а дети делают то же самое в тетради). Как можно назвать объединение данных множеств? (Множество геометрических фигур).

Затем рассматриваются случаи объединения равных, пересекающихся, вложенных множеств. Обращается внимание детей на то, что объединение двух множеств состоит из всех элементов обоих множеств, а их общие элементы (если таковые имеются) содержатся в этом объединении только один раз, так как это принято в математике (рис. 16).

Рис. 16 [12]

При выполнении вышеуказанного задания учащиеся пользуются следующими правилами для подсчета элементов в объединении двух множеств:

• если множества не пересекаются, то количество элементов в их объединении равно сумме числа элементов каждого из них;

• если множества пересекаются, то число элементов в их объединении равно сумме числа элементов всех трех областей;

• если множества вложены, то количество элементов в их объединении равно числу элементов, находящихся внутри главного множества.

В 3 и 4 классах при рассмотрении операций над множествами, материал связывается с операциями над высказываниями. Учащимся сообщается, что «…если в названии множества есть слово «и», то каждый его эле­мент должен находиться на пересечении двух множеств», а «…когда мы говорим о множествах, слово «или» - это означает «хотя бы одно» (а не «одно из двух), то речь идет об объединении множеств».

Приведем примеры упражнений, которые можно использовать при изучении данной темы в начальной школе.

1. Упражнения, направленные на формирование представлений у младших школьников о множестве и его элементах

Задание 1

Назови одним словом:

1. 2.

3. 4.

Что общего у объектов каждой группы? Есть ли общее между группами?

Укажи множество живых объектов, неживых предметов.

Ответ: 1- птицы, 2 – рыбы, 3 - спортивное снаряжение, 4 – игрушки. Множество живых объектов включает в себя множества птиц и рыб. Множество неживых объектов включает в себя множества игрушек и спортивного снаряжения.

Задание 2

Как называют множество: лошадей, коров, пчел?

Ответ: табун, стадо, рой.

Задание 3

Перечисли членов твоей семьи. Принадлежишь ли ты этому множеству? А твой друг?

Ответ: множеству "семья" принадлежат элементы "мама", "папа", "ребенок". Элемент "друг" не принадлежит множеству "семья".

Задание 4

По какому признаку подобраны слова: пенал, ручка, тетрадь, учебник, портфель? Какие еще элементы входят в это множество? Можно ли в него включить тюльпан, дом, кастрюлю?

Ответ: пенал, ручка, тетрадь, учебник, портфель – школьные принадлежности. Данное множество можно дополнить элементами: карандаш, линейка, ластик и т.п. Тюльпан, дом, кастрюля не принадлежат рассматриваемому множеству.

Задание 5

Сколько элементов содержит:

а) множество дней недели;

б) множество месяцев в году;

в) множество пальцев руки;

г) множество минут в часе;

д) множество хвостов у кота;

е) множество гласных букв русского алфавита;

ж) множество крокодилов, живущих в реке Иртыш?

Если множество не содержит элементы, его называют пустым и обозначают Ø. Приведи свой пример пустого множества.

Ответ: а=7, б=12, в=5, г=60, д=1, е=10, ж=0 (пустое множество).

Задание 6

Перечисли все числа, которые ты знаешь? Сколько элементов получилось в твоем множестве?

Если невозможно перечислить все элементы множества, то их называют бесконечными. Приведи свой пример бесконечного множества.

Ответ: все числа перечислить невозможно, их бесконечно много.

2. Упражнения, направленные на формирование умения задавать множества

Если все элементы множества можно перечислить, то их записывают в фигурных скобках через запятую. Например: А – множество гласных букв русского алфавита можно записать так: А={а, у, е, ы, о, э, я, и, ю,ё}.

Задание 1

Обведи на рисунке все цифры красным карандашом. Обведи синим карандашом все буквы.

Можно записать все элементы красного множества так:

{5, 6, 2, 7, 1}.

Запиши синее множество в таком же виде:

{ …, … , …, …}.

Имеют ли красное и синее множества общие элементы?

Ответ: синее множество можно записать следующим образом {А, Д, С, Е}. Общих элементов множества не имеют.

Задание 2

Запиши множество, состоящее из:

а) однозначных четных чисел;

б) однозначных нечетных чисел;

в) букв, составляющих слово «ручка»;

г) чисел, меньших 100, но больших или равных 95.

Ответ: А={2, 4, 6, 8}, Б={1, 3, 5, 7, 9}; В={р, у, ч, к, а}, Г={95, 96, 97, 98, 99}.

Задание 3

Укажи ошибку:

А – множество гласных букв русского алфавита. А={а, г, у, е, ы, о, э, я, д, и, ю,ё};

В – множество зимних месяцев в году. В={январь, февраль, март};

С – множество однозначных чисел, кратных 3. С={3, 5, 6, 9}

Ответ: А={а, у, е, ы, о, э, я, и, ю, ё}, В={декабрь, январь, февраль}, С={3, 6, 9}.

Задание 4

Укажи свойство, которым обладают все элементы данных множеств:

А = {сложение, вычитание, умножение, деление};

В = {2, 4, 6, 8};

С = {дед, бабка, мышка};

D = {суббота, воскресенье}.

Ответ: А – арифметические действия, В – четные однозначные числа, С – герои сказки "Курочка Ряба", D – выходные дни.

3. Упражнения на установление отношений между множествами и их графическое изображение диаграммами Эйлера-Венна.

Задание 1

Сравни множества в первом и втором ряду.

В каком ряду есть «лишний» элемент? Убери его. Что можно сказать о полученных множествах? Можно ли их назвать равными? Приведи примеры равных множеств.

Ответ: во втором ряду лишний элемент – буква С. Если его убрать, то оба множества будут состоять из одинаковых элементов. Данные множества являются равными.

Задание 2

Разбей множество чисел на части: {5, 40, 84, 401, 435, 624, 705}. Найди несколько решений и обоснуй их.

Ответ: А={5} – однозначные числа;

В={40, 84} – двузначные числа;

С={401, 435, 624, 705} – трехзначные числа

или

А={5, 401, 435, 705} – нечетные числа;

В={40, 84, 624} - четные числа.

Задание 3

Посмотри на рисунок. Перечисли элементы множества А, множества В. Укажи общий элемент.

Данные множества имеют общий элемент. В этом случае говорят, что они пересекаются.

Ответ: общий элемент – треугольник.

Задание 4

Задай свойством множества А и В.

Каждый ли петух является птицей? Всякая ли птица является петухом? Какое из этих множеств является частью другого?

Ответ: А – множество птиц, В – множество петухов. Каждый петух является птицей, но не каждая птица является петухом. Множество петухов является подмножеством множества птиц.

Задание 5

Задай свойством множества, изображённые на рисунке. Какое из них является подмножеством другого?

а) б)

Как расположены относительно друг друга диаграммы множества и подмножества?

Ответ: а) А – множество четырехугольников, В – множество прямоугольников.

б) А – множество прямоугольников, В – множество серых прямоугольников.

На диаграммах подмножества рисуются внутри множества.

Задание 6

Посмотри на рисунок. Перечисли элементы и укажи свойство каждого из множеств. Почему гусь расположен в области пересечения?

Ответ: А- множество домашних птиц, В – множество диких птиц. Гусь может быть как домашним, так и диким, поэтому данный элемент находится в области пересечения.

4. Упражнения, направленные на ознакомление младших школьников с операциями пересечения и объединения множеств

З адание 1

Запиши с помощью фигурных скобок:

а) элементы множества А;

б) элементы множества В;

в) множество общих элементов А и В;

г) все элементы множеств А и В.

О твет: А={ ,К, , 5}, Б={5, 1, Р, М, }, В={5}, Г={1,5, Р, М, К, , , }

Задание 2

Определи по рисунку, каким признаком обладают элементы пересечения множеств А и В.

Ответ: А – множество закрашенных фигур, В – множество квадратов, тогда элементы пересечения множеств А и В обладают свойством "закрашенные квадраты".

Задание 3

Закрась область пересечения на следующих рисунках.

а) б)

Ответ:

Задание 4

Закрась область объединения на следующих рисунках.

а) б)

в)

Ответ:

Задание 5

Даны множества: А={у, ч, е, н, и, к}, В={ч, а, й, н, и, к}. Укажи элементы, которые войдут в пересечение, объединение множеств. Отметь элементы этих множеств на диаграмме Эйлера - Венна. Сколько элементов содержит пересечение и объединение этих множеств?

Ответ: в пересечение множеств А и В войдут элементы {ч, н, и, к}, в область объединения {у, ч, е, н, и, к, а, й}.