3 Класс
Как уже отмечалось, во втором классе осуществляется подготовка к введению логических связок И, ИЛИ. В третьем классе изучается тема «Простые и сложные высказывания» [4, c. 26].
Детям сообщается, что высказывания бывают простыми и сложными. Определить истинность простых высказываний легко.
Например, легко оценить истинность высказываний:
a. 10 > 5
b. Москва – столица России.
c. 3 + 2 < 10.
Если два простых высказывания соединить с помощью действия логического сложения или логического умножения, то получится одно сложное высказывание.
Сложное высказывание, полученное с помощью логического умножения, истинно, если все простые высказывания, из которых оно состоит, истинны.
Логическое умножение будем обозначать буквой И.
Например, прочти сложное высказывание 0 < 9 И 0 > 1.
Из каких простых высказываний оно состоит? Оцени их истинность и истинность сложного высказывания.
Учащихся знакомят с таблицей истинности логического умножения.
Таблица 3
Таблица истинности логического умножения
Высказывание 1 |
Высказывание 2 |
Высказывание 1 И Высказывание 2 |
ИСТИНА |
ИСТИНА |
ИСТИНА |
ИСТИНА |
ЛОЖЬ |
ЛОЖЬ |
ЛОЖЬ |
ИСТИНА |
ЛОЖЬ |
ЛОЖЬ |
ЛОЖЬ |
ЛОЖЬ |
Дети определяют истинность сложных высказываний:
a. 10 > 5 И 10 = 3
b. Москва – столица России. И В Москве есть Кремль.
c. Буратино – герой сказки «Колобок» И Буратино сделан из глины.
Сложное высказывание, полученное с помощью логического сложения, истинно, если хотя бы одно из простых высказываний, входящих в него, истинно.
Логическое умножение будем обозначать буквами ИЛИ.
Предлагается оценить истинность сложного высказывания:
0 < 9 ИЛИ 0 > 1
Это проще сделать, воспользовавшись таблицей истинности логического сложения.
Таблица 4
Таблица истинности логического сложения
Высказывание 1 |
Высказывание 2 |
Высказывание 1 ИЛИ Высказывание 2 |
ИСТИНА |
ИСТИНА |
ИСТИНА |
ИСТИНА |
ЛОЖЬ |
ИСТИНА |
ЛОЖЬ |
ИСТИНА |
ИСТИНА |
ЛОЖЬ |
ЛОЖЬ |
ЛОЖЬ |
Далее учащиеся закрепляют умение определять истинность сложных высказываний с помощью упражнений следующих видов:
определение истинности сложных высказываний по рисунку;
исполнение алгоритмов, содержащих условия в форме сложных высказываний, по их блок-схемам;
оценка истинности сложного высказывания с переменной, если задано её конкретное значение.
Например, оцени истинность высказывания при D = 70.
D > 40 И D < 70 D > 40 ИЛИ D < 70
D > 40 И D < 90 D > 40 ИЛИ D < 90 [4, с. 89].
В четвертом классе дети закрепляют свои умения строить сложные высказывания и оценивать их истинность при изучении последующих разделов курса информатики.
Тема «Логические рассуждения» в курсе «Информатика в играх и задачах» А.В. Горячева входит в содержание всех лет обучения в начальной школе, так как содержание и объем рассматриваемых логических понятий возрастает от класса к классу.
В 1-ом и 2-ом классах дети учатся распознавать заведомо ложное высказывание, подбирать противоположное по смыслу слово. Учащиеся должны отличать высказывания от других предложений, приводить примеры высказываний, по рисунку определять истинность или ложность высказываний.
Учащимся предлагаются задания на сравнение предметов с противоположными свойствами (высокий - низкий, большой - маленький и т.п.), на рисование предметов с противоположными свойствами, на попарное соединение слов с противоположными значениями.
Например, для выделенного свойства одного предмета ученики должны подобрать противоположное свойство другого предмета: жираф высокий – барашек низкий, мяч большой – воланчик маленький, лента узкая – другая лента широкая; одна дорога прямая – другая кривая (или извилистая).
Смысл понятий ИСТИНА и ЛОЖЬ в первом и втором классах объясняют на примерах, которые знакомы детям из их личного опыта. Это может быть картинка и подпись под ней. Ребенок знает, что если изображение и подпись совпадают, то это истина, если нет – то ложь. Наряду с заданиями, в которых нужно определить истину, есть задания, в которых требуется исправить изображение или подпись, чтобы они стали истинными (рис 17).
Рис. 17 [10]
Некоторые упражнения включают в себя условие ЕСЛИ, которое усложняет задание, но и делает его более интересным (рис. 18).
Рис. 18 [10]
Во 2 классе вводится понятие высказывания.
Учитель подчеркивает, что математика тоже имеет дело с предложениями. Но только в математике мы интересуемся, правдиво ли это предложение (т.е. верно, истинно) или неправдиво (т.е. неверно, ложно). И такое предложение в математике называется высказыванием. То есть мы не просто говорим какое-то предложение, а высказываем правду или ложь.
Итак, высказывание бывает истинным (правда) или ложным (неправда).
При построении отрицаний высказываний особое внимание уделяется употреблению слов, взаимно отрицающих друг друга: «всегда», «иногда», «никогда», «все», «некоторые», «никто». Учитель должен научить ученика употреблять эти слова при отрицании текста.
Необходимо помочь детям образовывать правильное отрицание высказывания. Для этого достаточно подчеркнуть, что отрицание высказывания – это полная противоположность самого высказывания («совсем наоборот»).
Для самоконтроля рекомендуется отрицание высказывания начинать со слова «нет» («иногда идет дождь» – «нет, дождь никогда не идет»).
После освоения детьми понятий «отрицание», «истина», «ложь» вводятся союзы И, ИЛИ, НЕ и рассматривается их связь с операциями над множествами. Необходимо, чтобы дети понимали, что у пересекающихся множеств есть области, соответствующие данным логическим союзам.
Если употребляется союз И, то речь идет об области пересечения. Если употребляется союз ИЛИ, то речь идет об элементах всех рассматриваемых областей. Если употребляется союз НЕ, то речь идет об элементах, находящихся вне рассматриваемой области.
Например, задание (рис. 19):
Рис. 19 [12]
В третьем классе осуществляется повторение и закрепление у учащихся представлений об истинности высказываний, в том числе с союзами НЕ, И, ИЛИ.
Учитель обсуждает с детьми, что бывают вопросы, на которые можно ответить «да» или «нет», и вопросы, на которые нельзя так ответить. Просит нескольких человек привести примеры вопросов на «да - нет». Проводит фронтальный опрос: каждый ребенок должен придумать свой вопрос. Затем предлагает нескольким детям привести примеры вопросов, на которые нельзя ответить «да» или «нет». Как правило, такие вопросы начинаются с вопросительных слов либо предполагают выбор из перечисленного.
Например:
- Сколько весит слон?
- Это город Москва или Петербург?
Сначала надо дать время детям самостоятельно придумать три вопроса, на которые можно ответить «да» или «нет», и три вопроса, на которые нельзя так ответить. А через некоторое время следует проверить задание вслух.
Примеры вопросов, на которые можно ответить «да» или «нет»:
1. Знайка сидит в машине?
2. Самоделкин держит кисточку?
3. Незнайка держит кисточку?
Примеры вопросов, на которые нельзя ответить «да» или «нет»:
1. Что в руках у Чипполино?
2. Где лежит молоток?
3. Откуда выглядывает Знайка?
При определении истинности высказываний со связками НЕ, И, ИЛИ вместо термина «связка» используется термин «слово». В третьем классе задания на эту тему сгруппированы попарно. Первое задание представляет собой рисунок и таблицу, в которой приведены высказывания простые или сложные. Ученик должен решить, истинное высказывание или ложное, и проставить слова ДА или НЕТ (рис. 20).
Рис. 20 [14]
Следующее задание связано с предыдущим. Чтобы справиться с ним, ребенок должен проанализировать результаты выполнения предыдущего задания (рис. 21).
Рис. 21 [14]
Особую сложность для учащихся представляют задания, где в простых высказываниях используется слово НЕ (рис. 22).
Рис. 22 [14]
Далее предлагаются задания со сложными высказываниями, в которых употребляются слова И, ИЛИ (рис. 23, 24).
Рис. 23 [14]
Рис. 24 [14]
При закреплении умения строить отрицания простых высказываний особое внимание следует уделить использованию кванторов.
Учитель произносит высказывания с кванторами
а) всегда, везде, все, всякий;
б) никогда, нигде, никто, никакой;
в) иногда, кое-где, кое-кто, некоторый,
а ученики должны сформулировать отрицания высказываний учителя.
Необходимо обратить внимание детей, что в данном случае речи не идет о правильности высказываний, нужно назвать высказывание (фразу), опровергающее высказывание (фразу) учителя вне зависимости правильно это или нет.
А.В. Горячев рекомендует рассмотреть следующую таблицу (таблица 5).
Таблица 5
Высказывание
|
Отрицание
|
Винтик и Шпунтик сделали автомобиль.
|
Винтик и Шпунтик не сделали автомобиль.
|
Все дети любят хорошие отметки.
|
Не все дети любят хорошие отметки. (Некоторые дети любят плохие отметки.) |
Иногда во время дождя бывает радуга. |
Во время дождя никогда не бывает радуги. |
Пончик и Сиропчик любят сладкое.
|
Пончик и Сиропчик не любят сладкое.
|
Все дети любят мультики.
|
Не все дети любят мультики.
|
Не все птицы улетают зимой на юг. (Некоторые птицы не улетают зимой на юг.)
|
Все птицы улетают зимой на юг.
|
В четвертом классе учащиеся впервые рассматривают правило построения выводов ЕСЛИ-ТО.
Цель данной темы – научить составлять схемы таких правил, определять ситуации, в которых можно (нельзя) сделать вывод с помощью правила ЕСЛИ-ТО. Под термином «правило» понимается инструкция к определению истинности высказывания для каждого конкретного случая.
Правило ЕСЛИ-ТО состоит из двух высказываний: условия и заключения. Стрелка в краткой записи этого правила идет от условия к заключению. Иногда правило ЕСЛИ-ТО действует и в обратном направлении.
Например:
«Если птица – страус, то она умеет летать». Правило будет записано так:
СТРАУС НЕ ЛЕТАЕТ
Это правило работает только в одну сторону, мы не можем сказать: «Если птица не летает, то эта птица - страус».
«Если буква стоит первой в алфавите, то эта буква «А»». Правило будет записано так:
ПЕРВАЯ БУКВА АЛФАВИТА БУКВА «А»
Дети рассматривают примеры на это правило из математики или других предметов.
ЧЕТНОЕ ЧИСЛО ДЕЛИТСЯ НА 2
КВАДРАТ СТОРОНЫ РАВНЫ
Вопрос. Как вы думаете, работает ли последнее правило в обратном направлении? Какое высказывание надо добавить и каким союзом его соединить, чтобы это правило работало и в обратном направлении?
Условие правила ЕСЛИ-ТО может стоять не только из одного высказывания, но и из двух и более, которые должны быть соединены союзами И или ИЛИ.
Игра «Назови условие». Учитель произносит правило, пропуская его условие, и просит детей назвать пропущенное условие, например:
Если зверь…, то это бобр;
Если предмет…, то это карандаш;
Если человек…, то это клоун.
В условии правила учащиеся должны назвать одно или несколько свойств объекта (признаки, составные части, действия). Поэтому условие может быть простым, например, «умеет строить плотины», или сложным, например, «в нем есть грифель и им можно рисовать». Ученики формулируют такое условие, чтобы в нем объект однозначно определялся набором представленных свойств.
В результате выполнения этих заданий дети должны сделать следующие выводы:
Правило ЕСЛИ-ТО будет истинным, если истинны все высказывания, соединенные союзом И, которые входят в условие этого правила;
если высказывания, входящие в условие, соединены союзом ИЛИ, то правило ЕСЛИ-ТО истинно при истинности хотя бы одного из этих высказываний.
Цель изучения темы «Схема рассуждений» – научить детей составлять схемы рассуждений из правил ЕСЛИ-ТО и делать выводы с их помощью.
Схема рассуждений отвечает на вопрос: почему из факта можно сделать вывод. Для этого в неё включаются все правила, которые помогают сделать правильный вывод.
Схему рассуждений можно составить из нескольких правил, для этого заключение одного правила должно быть условием другого. Схему рассуждений принято составлять снизу вверх. Важно, что правильный вывод можно сделать по схеме рассуждений только тогда, когда в схему включены соответствующие правила (рис. 25).
Рис. 25 [16]
.
Игра «Составьте цепочку правил». Учитель читает отрывок из сказки или стихотворения Сю. Маршака.
Дуйте, дуйте, ветры в поле!
Чтобы мельницы мололи,
Чтобы завтра из муки
Испекли нам пирожки!
Дети должны сформулировать правило ЕСЛИ-ТО по тексту этого стихотворения.
ЕСЛИ ДУЕТ ВЕТЕР, ТО МЕЛЬНИЦЫ МЕЛЮТ.
ЕСЛИ МЕЛЬНИЦЫ МЕЛЮТ, ТО ЕСТЬ МУКА.
ЕСЛИ ЕСТЬ МУКА, ТО ЗАВТРА БУДУТ ПИРОЖКИ.
Далее учащиеся должны построить цепочку рассуждений (рис. 26).
Рис. 26
Затем учитель предлагает учащимся несколько выводов, а они должны определить, можно ли сделать такие выводы по полученной схеме рассуждений. Например:
В ветреный день есть мука.
В ветреный день есть пирожки.
Если мельницы не работают, то пирожков нет.
Таким образом, тема «Логические рассуждения» изучается по программе А.В. Горячева «Информатика в играх и задачах» концентрически на протяжении всех лет обучения информатике в начальной школе. Учащиеся выясняют смысл понятий ИСТИНА и ЛОЖЬ, получают представление о понятии высказывания, учатся определять его истинность, распознавать высказывания среди множества предложений, приводить примеры высказываний, строить сложные высказывания со словами И, ИЛИ, НЕ и определять их истинность, устанавливать связи между этими словами и операциями над множествами, строить простейшие логические цепочки рассуждений по правилу ЕСЛИ-ТО.
Учебники А.В. Горячева содержат достаточно полную, разнообразную, хорошо иллюстрированную систему практических упражнений по теме «Логические рассуждения», позволяющих акцентировать внимание на всех необходимых аспектах изучаемых понятий.
При этом можно использовать следующие упражнения.
Задание 1
Под высказыванием понимают всякое повествовательное предложение, относительно которого имеет смысл говорить, истинно оно или ложно. Вопросительные и восклицательные предложения, а также предложения, выражающие приказание или сожаление, не являются высказываниями, т.к. не имеет смысл говорить, истинны они или ложны.
Среди перечисленных предложений укажи те, которые являются высказываниями.
Подойди ко мне!
Ты вчера был в школе?
Сумма чисел 2 и 3 равна 5.
Земля вращается вокруг Луны.
Сегодня по телевизору хорошая программа.
Цыплят по осени считают.
3 – число нечетное.
Ответ: высказываниями являются следующие повествовательные предложения "Сумма чисел 2 и 3 равна 5", "Земля вращается вокруг Луны", "3 – число нечетное".
Задание 2
Высказывания могут быть истинными и ложными. Определи истинность следующих высказываний:
А: "Москва – столица России".
В: "Лед – твердое состояние воды".
С: "Солнце – спутник Земли".
D: "Кошки умеют летать".
Е: "10 – число однозначное".
Ответ: истинные высказывания – А, В; ложные высказывания – С, D, Е.
Задание 3
В предложения вставь частицу «не» так, чтобы его смысл изменился на противоположный.
Кошки любят есть сено. Кошки не любят есть сено.
Лошади летают по небу.
Дети должны играть спичками.
2 – число четное.
Море впадает в реку.
Вашингтон – столица Украины.
Высказывания, в которых нет слов – связок («НЕ», «И», «ИЛИ», «ЕСЛИ …, ТО»), называются элементарными. Высказывания, полученные из элементарных с помощью слов– связок, называют составными.
Ответ: Лошади НЕ летают по небу. Дети НЕ должны играть спичками. Море НЕ впадает в реку. Вашингтон – НЕ столица Украины.
Задание 4
Из двух элементарных высказываний построй составное, используя связки «И», «ИЛИ».
М
арина
старше Светы. Марина и Оля старше Светы.
Оля старше Светы.
Квадрат – геометрическая фигура. Круг – геометрическая фигура.
Синий кубик меньше красного. Синий кубик меньше зеленого.
Дельфин – рыба. Дельфин – млекопитающие.
Луна – планета. Луна – спутник Земли.
Буква «а» - первая буква в слове «аист». Буква «т» - первая буква в слове «аист».
Ответ: Квадрат и круг – геометрические фигуры.
Синий кубик меньше красного и зеленого.
Дельфин рыба или млекопитающее.
Луна планета и спутник Земли.
В слове "аист" первая буква "а" или "т".
Задание 5
Лена сказала, что пойдет в кино, если пойдут Оля и Женя.
а) Оля идет в кино, а Женя нет. Пойдет ли Лена?
б) Ни Оля и ни Женя не пойдут в кино. Пойдет ли Лена?
Ответ: Лена не пойдет в кино ни в одном, ни во втором случае.
Задание 6
Для урока рисования ученики должны были принести краски или карандаши.
а) Готов ли Саша к уроку, если он принес только краски?
б) Готов ли Женя к уроку, если он не принес ни красок, ни карандашей?
в) Готова ли Оля к уроку, если она принесла краски и карандаши.
Ответ: Саша и Оля к уроку готовы, а Женя – нет.
Задание 7
Назови число, которое
а) больше 3 и больше 5;
б) больше 3 или больше 5;
в) больше 3 и меньше 5;
г) меньше 3 и больше 5;
д) не меньше 3.
Ответ: а – все числа, большие 5; б – числа, большие 3; в – 4; г – такого числа нет, д – числа большие и равные 3.
Задание 8
Таня и Ира играли в шашки. Как закончилась игра, если известно:
а) Таня не выиграла и Ира не проиграла?
б) Таня не выиграла или Ира не проиграла?
в) проиграла не Ира?
г) выиграла не Таня?
Ответ: а – ничья, б – ничья, в – проиграла Таня, г – проиграла Таня.
Задание 9
Записаны числа 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10. Какие из следующих предложений относительно этих чисел будут верными?
1) Все числа имеют по два соседних числа.
2) Существует число, имеющее только одно соседнее число.
3) Любое из чисел - однозначное.
4) Каждое число больше предыдущего на 1.
Ответ: верными будут предложения 2, 4.