2.5. Определение показателей генеральной совокупности

При решении задачи на определение показателей генеральной совокупности предполагается, что генеральная совокупность со­ответствует нормальному закону распределения, поэтому может быть полностью отражена показателями средней арифметиче­ской ( _ген) и среднего квадратического отклонения (_ген).

С редняя арифметическая генеральной совокупности опреде­ляется на основе показателей выборки и может быть отражена следующим образом:

где _ген — средняя арифметическая генеральной совокупности; _выб ^— средняя арифметическая выборки; m — ошибка репрезен­тативности (стандартная ошибка); t — критерий достоверности (критерий надежности). Показатель надежности t определяется по таблице приложения 4 по числу степеней свободы k, равному числу элементов выборки минус единица, т. е. k = п - 1. Для определения доверительных границ _ген необходимо провести расчеты в соот­ветствии с формулами (2.14)... (2.17).

Величины _выб - mt и _выб + mt называются нижней и верхней доверительными границами.

Величины т и t следует объяснить, исходя из основной идеи выборочного метода: если корректно составить выборку, то ее по­казатели правильно представляют генеральную совокупность. Так, в частности, из одной генеральной совокупности может быть из­брано множество выборок. Установлено, что средние показатели этих выборок разнятся между собой практически на одну и ту же величину. Кроме того, средние показатели генеральной совокуп­ности отличаются от выборочных на эту же величину т.

Ошибка репрезентативности (т) указывает на различие между генеральной и выборочной средней совокупностью. Критерий (t) — это показатель вероятности (надежности), согласно которому мож­но утверждать, что различие между средними показателями гене­ральной и выборочной совокупности не превышает величину ошибки т.

Отметим, что в практике спортивных исследований поступают таким образом: находят заранее определенную надежность, при которой исследователь удовлетворен точностью расчета. Обычно это надежность Р = 0,95.

Поскольку вероятность не может быть больше P = 1,0, приня­то использовать не только понятие надежности Р, но и величину  = 1 - Р, показывающую уровень значимости.

Таким образом, практика спортивных расчетов основана на надежности Р 0,95 при уровне значимости  0,05. Это означает, что спортивные расчеты, как правило, удовлетворяются точно­стью, при которой на каждые 100 испытаний 5 могут быть неточ­ными.

Ошибка репрезентативности m находится по нижеприведен­ным формулам (2.1)...(2.4).

( 2.1)

Формула (2.1) применяется в случае, когда число элементов генеральной совокупности неизвестно (N= а число элементов выборки n > 20.

(2.2)

Формула (2.2) применяется, когда число элементов генераль­ной совокупности неизвестно (N= а число элементов выбор­ки n < 20:

(2.3)

Формула (2.3) используется, если выборка велика, т.е. n 20, а число элементов N генеральной совокупности известно:

(2.4)

Формула (2.4) используется, если выборка мала, т.е. n < 20, а число элементов генеральной совокупности известно как N.

Для определения доверительных границ среднего квадратиче­ского отклонения генеральной совокупности (_ген) используют метод сравнения

где _выб — среднее квадратическое отклонение выборки; q — ве­личина, определяемая по таблице приложения 5.

При q < 0 сравнение преобразуется следующим образом:

Рассмотрим конкретный пример.

Пример 2.13. Группа спортсменов в количестве 30 человек (n) исследована на величину поглощения кислорода во время дли­тельной работы x_i (л/мин). Испытуемые отобраны из 300 спорт­сменов N той же квалификации.

Оцените средние показатели 300 спортсменов. Исходные дан­ные приведены в табл. 2.29.

Таблица 2.29

Обработка показателей поглощения кислорода 30 спортсменами

Характеристика выборки из 30 спортсменов представляет _выб ± _выб = (4,3 ± 0,2) л/мин.

Для оценки генеральных показателей определим величину ошибки репрезентативности m. Поскольку в примере 2.13 объем генеральной совокупности N = 300, а выборка состоит из п = 30, т.е. п> 20, для определения ошибки репрезентативности исполь­зуем формулу (2.17):

Показатель t определяем по таблице приложения 4. При на­дежности Р = 0,95 (уровень значимости  = 0,05) и при числе степеней свободы k = n - 1 = 30 - 1 = 29, t= 2,05.

Для оценки среднего квадратического отклонения определяем q по таблице приложения 5, где Р = 0,95 ( = 0,05); п = 30; q = 0,28.

Оценка генеральных показателей следующая:

Таким образом, группа испытуемых из 30 спортсменов, харак­теризуемая как

х _выб ± _выб = (4,3 ± 0,2) л/мин, позволяет оценить генеральную совокупность N из 300 спортсменов как

Доверительные границы можно определить в случае, если оцен­ку средних показателей генеральной совокупности требуется вы­разить одним числом, т. е.

В этом случае показатели выборки и генеральной совокупности совпали, что свидетельствует о корректном подборе выборки.

В целом при характеристике генеральной совокупности обычно указывают на величины _ген; т, т. е. _ген = 4,3 л/мин, т = 0,03 л/мин.

Ошибка репрезентативности показывает, насколько х_ген может отличаться от х_выб при надежности Р = 0,95 ( = 0,05).

Другими словами, анализируя полученные данные, можно сде­лать вывод, что 30 испытуемых имеют среднюю величину погло­щения кислорода во время длительной работы, равную 4,3 л/мин. Спортсмены в количестве 300 человек, из числа которых избраны 30 испытуемых, также покажут среднюю величину поглощения кислорода во время длительной работы, равную 4,3 л/мин. Однако утверждая это, мы ошибаемся на 0,03 л/мин с вероятностью 0,95.