1.3. Системи диференціальних рівнянь

Розглянемо систему диференціальних рівнянь

(1.11)

із початковою умовою

. (1.12)

Тут

Формули методу Ейлера у цьому випадку набувають вигляду

(1.13)

Порівняно з (1.3) тут кількість обчислень функцій зростає на кожному кроці у m раз. Аналогічно записуються формули модифікацій методу Ейлера.

Приклад. Для системи двох диференціальних рівнянь

явний метод Ейлера набуває вигляду

1.4. Методи Рунге-Кутти

Для числового розв’язування задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь найбільш широко використовуються однокрокові методи Рунге-Кутти ([1],c.292-300);[3],c.231-232;[6],c.218-220). На даний час побудовані такі методи порядку 1-10. Надалі будемо розглядати явні методи Рунге-Кутти, частковим випадком яких є метод Ейлера (1.3) і модифікація (1.7). Методами Рунге-Кутти можна будувати числовий розв’язок як скалярних рівнянь, так і систем диференціальних рівнянь із сталим чи змінним кроком.

Схема методу. Зафіксуємо ціле , яке назвемо числом стадій, а відповідний метод стадійним. Введемо такі позначення:

,

,

,

...................................................................

,

де коефіцієнти не залежать від кроку , правої частини рівняння (1.1) і підлягають визначенню.

Згідно методу Рунге-Кутти наближене значення розв’язку за відомим значенням обчислюється у вигляді лінійної комбінації

(15)

де також не залежать від і функції .

Для заданого підлягає визначенню коефіцієнтів, які зручно подати у вигляді табл. 1.

a2	b21		Таблиця 1. Коефіцієнти методів Рунге-Кутти
a3	b31	b32
...	...	...
as	bs1	bs2	...	bss-1
	c1	c2	...	cs-1	cs

Випишемо найбільш уживані формули обчислення числового розв’язку задачі Коші (1.1), (1.2) для методів Рунге-Кутти порядку 2, 3 і 4 (порядок на кроці відповідно 3,4 і 5), якщо забезпечена гладкість розв’язку відповідно 3, 4 і 5. В обчислювальній практиці їх широко застосовують завдяки тому, що вони:

• однокрокові;

• дають змогу здійснювати числове інтегрування зі змінним кроком;

• о зручні для програмування на ЕОМ, оскільки обчислення за ними має циклічний характер.

Поряд із перевагами, ці методи мають і недоліки:

• важко теоретично оцінити похибку наближеного розв`язку задачі (1.1)-(1.2);

• на кожному кроці інтегрування потрібно обчислювати в кількох точках праву частину рівнянь (1.1);

• для методів Рунге-Кутти, порядок точності яких більший від чотирьох, права частина рівняння (1.1) на кожному кроці обчислюється у точках, кількість яких більша, ніж порядок точності.