1.5. Про оцінку похибки наближеного розв’язку задачі Коші

Для оцінки похибки наближеного розв’язку задачі (1.1)-(1.2) зручно використати інформацію, одержану в процесі числового розрахунку (апостеріорні оцінки). Ефективні оцінки з подвійним перерахунком ([2], c.208;[3], c.238-240; [9] c.11). Розглянемо такі три випадки:

1. Задано крок інтегрування h. Потрібно визначити точні цифри наближеного розв’язку в кожному вузлі точці .

2. Задано точність , з якою потрібно обчислити наближений розв’язок задачі (1.1)-(1.2). Потрібно знайти крок інтегрування h.

3. Оцінити похибку , де і - відповідно наближений і точний розв’язки задачі, в кожній вузловій точці .

Для цього у випадку 1) розв’язок задачі (1.1)-(1.2) у кожному вузлі обчислюють двічі: із кроком h і . Позначатимемо їх відповідно і . Десяткові розряди наближень і , які збігаються між собою, вважають точними цифрами наближеного розв’язку в точці . Якщо в точці значення і задовольняють нерівність , то крок інтегрування для наступної точки можна подвоїти. Якщо , то крок інтегрування ділять навпіл. Цим забезпечується автоматичний вибір кроку інтегрування. У випадку 3) наявність наближених значень і , обчислених відповідно з кроками і , дає змогу наближено оцінити похибку методу у точці . При цьому припускається, що виконуються такі умови: на кожному кроці інтегрування похибка методу пропорційна , де - порядок точності методу; похибка методу на кожному кроці інтегрування однакова; на кожному наступному кроці інтегрування сумарна похибка методу включає також усі похибки, зроблені на попередніх кроках. Тому для абсолютної похибки методу в точці одержана формула [1,2,3,5]:

.

Такий спосіб одержання оцінки називають правилом Рунге.

В табл. 4 подано оцінки похибок методів Рунге-Кутти порядку точності від 1 до 4 за допомогою правила Рунге. Саме такими оцінками найчастіше користуються в обчислювальній практиці.

Таблиця 4.Оцінки похибок методів Рунге-Кутти

Порядок точності	Похибка методу
1
2
3
4

1.6. Оcновні формули однокрокових методів

• Формули методу Ейлера та його модифікацій Порядок

. 1

. 1

2

2

2

• Формули методів Рунге-Кутти

2

2

, 2

3

_.

3

, 3

, 4

, 4

, 4

1.7. Багатокрокові методи розв’язування задачі Коші звичайних диференціальних рівнянь першого порядку

Одним із недоліків однокрокових методів є те, що для обчислення наближеного значення y_n розв’язку задачі (1.1), (1.2) використовується тільки значення y_n-1. У той же час знайдені значення y_n-2, y_n-3,... явно не задіяні, наприклад, в методах Ейлера чи Рунге-Кутти.

Припустимо, що в m точках t_n-m, t_n-m+1, … , t_n-1 рівномірної на [a, b] сітки відомі значення розв’язку

y_n-m, y_n-m+1, … , y_n-1, m 1 . (1.13)

Початковий відрізок значень y₁,…,t_m-1 можна знайти, наприклад, одним із методів Рунге-Кутти (див. 1.4) або спеціально розробленими для цього методами [1,2,5,6].

Методи, які використовують на кожному кроці відрізок значень (1.13), називаються багатокроковими. Одними із таких методів є методи Адамса.