2. Момент инерции и его вычисление

Согласно определению, момент инерции тела относительно оси равен сумме произведений масс частиц на квадраты их расстояний до оси вращения или

Однако, эта формула непригодна для вычисления момента инерции; так как масса твердого тела распределена непрерывно, то сумму следует заменить на интеграл. Поэтому для вычисления момента инерции тело разбивают на бесконечно малые объемы dV с массой dm=dV. Тогда

где R - расстояние элемента dV от оси вращения.

Если момент инерции I_C относительно оси, проходящей через центр масс, известен, то можно легко вычислить момент инерции относительно любой параллельной оси О, проходящей на расстоянии d от центра масс или

I_O=I_C+md²,

Это соотношение называется теоремой Штейнера: момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции относительно оси параллельной ей и проходящей через центр масс и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.

3. Кинетическая энергия вращения

Кинетическая энергия вращающегося вокруг закрепленной оси твердого тела

Дифференцируя формулу по времени, получим закон изменения кинетической энергии вращающегося вокруг закрепленной оси твердого тела:

–

скорость изменения кинетической энергии вращательного движения равна мощности момента силы.

Отсюда

dK_вращ=M_Z_Zdt=M_Zd  K  K₂-K₁=

т.е. изменение кинетической энергии вращения равно работе момента сил.

4. Плоское движение

Движение твердого тела, при котором центр масс перемещается в фиксированной плоскости, а ось его вращения, проходящая через центр масс, остается перпендикулярной к этой плоскости, называется плоским движением. Это движение можно свести к совокупности поступательного движения и вращения вокруг неподвижной (закрепленной) оси, так как в Ц-системе ось вращения, действительно, остается неподвижной. Поэтому плоское движение описывается упрощенной системой двух уравнений движения:

(8.10)

Кинетическая энергия тела, совершающего плоское движение, будет:

и окончательно

,

так как в данном случае _i' - скорость вращения i-ой точки вокруг неподвижной оси.

Колебания

1. Гармонический осциллятор

Колебаниями вообще называются движения, повторяющиеся во времени.

Если эти повторения следуют через равные промежутки времени, т.е. x(t+T)=x(t), то колебания называются периодическими. Система, совершающая

колебания, называется осциллятором. Колебания, которые совершает система, предоставленная самой себе, называются собственными, а частота колебаний в этом случае -- собственной частотой.

Гармоническими колебаниями называются колебания, происходящие по закону sin или cos. Например,

x(t)=A cos( t+₀),

где x(t) -- смещение частицы от положения равновесия, A -- максимальное

смещение или амплитуда, t+₀ -- фаза колебаний, ₀ -- начальная фаза (при t=0), --циклическая частота, -- просто частота колебаний.

Система, совершающая гармонические колебания, называется гармоническим осциллятором. Существенно, что амплитуда и частота гармонических колебаний постоянны и не зависят друг от друга.

Условия возникновения гармонических колебаний:на частицу (или систему частиц) должна действовать сила или момент сил, пропорциональные смещению частицы из положения равновесия и

стремящиеся вернуть ее в положение равновесия. Такая сила (или момент сил)

называется квазиупругой; она имеет вид , где k называется квазижесткостью.

В частности это может быть и просто упругая сила, приводящая в колебания пружинный маятник, колеблющийся вдоль оси x. Уравнение движения такого маятника имеет вид:

или ,

где введено обозначение .

Непосредственной подстановкой нетрудно убедиться, что решением уравнения

является функция

x=A cos( ₀t+₀),

где A и ₀ -- постоянные величины, для определения которых следует задать два начальных условия: положение x(0)=x₀ частицы и ее скорость v_х(0)=v₀ в начальный (нулевой) момент времени.

Это уравнение представляет собою динамическое уравнение любых

гармонических колебаний с собственной частотой ₀. Для грузика на

пружинке период колебаний пружинного маятника

.