2.Биномиальный закон распределения и закон распределения пуассона.

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна р. Рассмотрим в качестве дискретной случайной величины X – число появлений события А в этих испытаниях. Возможные значения X: 0, 1, 2, … , k, … , n. Вероятности этих возможных значений вычисляются по формуле Бернулли:

P(X = k) = P_n(k) = ,

где k = 0, 1, .2, …, n.

Получили закон распределения:

X	n	n-1	…	k	…	0
P	pn	npn-1q			…	qn

Этот закон называют биномиальным.

Если число испытаний n велико, а вероятность появления события р в каждом испытании мала (р  , то для нахождения вероятностей пользуются приближенной формулой Пуассона:

, ( = np)

и говорят, что случайная величина распределена по закону Пуассона.

ПРИМЕР 1. Игральная кость брошена три раза. Написать закон

распределения числа появлений шестерки.

РЕШЕНИЕ. X – число появлений «6» в трех испытаниях. Ее возможные значения: 0, 1, 2, 3. Так как вероятность появления «6» при одном бросании кости постоянна и равна 1/6, то случайная величина X распределена по биномиальному закону. Следовательно:

P(X = 0) = q³ = = ;

P(X = 1) = ;

P(X = 2) = = = ;

P(X = 3) = p³ = = .

X	0	1	2	3
P

Контроль: .

ПРИМЕР 2. Коммутатор учреждения обслуживает 100 абонентов. Вероятность того, что в течение одной минуты абонент позвонит на коммутатор, равна 0,01. Найти вероятность того, что в течение одной минуты позвонят: а) ровно три абонента; б) менее трех абонентов; в) более трех абонентов; г) хотя бы один абонент.

РЕШЕНИЕ. Случайная величина X – число позвонивших за 1 мин., распределена по закону Пуассона, то есть

P(X = k)= , где   np = 100001 = 1

Таким образом: P(X = k) = .

а) Р(X = 3) = =0,0613;

б) P(X < 3) = P(X = 0)+P(X = 1)+P(X = 2) = 0,9197;

в) По свойству вероятности противоположных событий

P(X > 3) = 1 – P(X  3) = 1 – (P(X < 3) + P(X = 3))=1 – (0,0613+0,9197)=0,019;

г) События “позвонит хотя бы один абонент” и “ни один абонент не позвонит” противоположны, поэтому искомая вероятность:

P(X  1) = 1 – P(X = 0) = = 0,632.

3. Числовые характеристики дискретных случайных величин.

Пусть имеется закон распределения случайной величины:

X	x1	…	xn
P	p1	…	xn

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности:

M(Х) = x₁p₁ + x₂p₂ + … + x_np_n =

ЗАМЕЧАНИЯ:

1. Если дискретная случайная величина имеет бесконечно много значений, то существует, если ряд сходится абсолютно.

2. М(Х) – неслучайная, постоянная величина.

Математическое ожидание приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины и тем точнее, чем больше число опытов. Прежде чем перечислить свойства математического ожидания дадим понятия независимых случайных величин, произведения и суммы случайных величин.

Пусть случайные величины X, Y заданы законами распределения:

X	x1	...	xn		Y	y1	…	yn
P	p1	…	pn		P	g1	…	gn

Случайные величины X, Y называются, независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина.

Произведением независимых случайных величин Х и Y называют случайную величину XY, возможные значения которой равны произведениям каждого возможного значения Х на каждое возможное значение Y. Вероятность возможных значений х_iу_j равны произведениям вероятностей р_ig_j.

Суммой случайных величин Х и Y называют случайную величину X+Y, возможные значения которой равны суммам каждого возможного значения X с каждым возможным значением Y, вероятности возможных значений X+Y для независимых случайных величин Х и Y равны произведениям вероятностей слагаемых; для зависимых величин – произведениям вероятности одного слагаемого на условную вероятность второго.

СВОЙСТВА МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ:

1. М(С) = С , С – постоянная величина;

2. М(СХ) = СМ(Х);

3. Если X, Y – независимые случайные величины, то

М(XY) = М(X)М(Y);

2. М(X+Y) = М(X) + М(Y);

3. Математическое ожидание биномиального распределения равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в одном испытании:

М(Х) = np.

ПРИМЕР 1. Дан перечень возможных значений дискретной случайной величины Х: х₁ = 1, х₂ = 2, х₃ = 3. Найти закон распределения, если М(Х) = 2,3 и М(Х²) = 5,9.

РЕШЕНИЕ: Если случайная величина Х имеет закон распределения

Х	1	2	3
Р	р1	р2	р3

то величина Х² задается законом распределения

Х2	1	4	9
Р	р1	р2	р3

По определению:

М(Х) = р₁ + 2р₂ + 3р_3,

М(Х²) = р₁ + 4р₂ + 9р_3.

Кроме того:

р₁ + р₂ + р₃ = 1.

Получили:

Решая систему, получим: р₁ = 0,2; р₂ = 0,3; р₃ =0,5.

ПРИМЕР 2. Рассмотрим дискретные случайные величины X и Y:

X	-1	1		Y	-1000	1000
P	0,5	0,5		P	0,5	0,5

Найдем математические ожидания этих величин:

М(Х) = 1  0,5 + 1  0,5 = 0,

М(Y) = 1000  0,5 + 1000  0,5 = 0.

Получим: М(Х) = М(Y).

ВЫВОД: Одно математическое ожидание полностью случайную величину не характеризует. Полезно знать как рассеяны возможные значения случайной величины вокруг ее математического ожидания.

Отклонением называют разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием: Х – М(Х). Если закон распределения случайной величины Х известен:

Х	х1	…	хn
Р	р1	…	рn

то отклонение Х – М(Х) имеет следующий закон распределения:

Х – М(Х)	х1 – М(Х)	…	хn – М(Х)
Р	р1	…	рn

По свойствам математического ожидания:

М(Х – М(Х)) = М(Х) – М(М(Х)) = М(Х) – М(Х) = 0

Таким образом, среднее значение отклонений не характеризует степень рассеяния случайной величины вокруг ее среднего значения. Поэтому целесообразно рассматривать не отклонения, а их квадраты.

Дисперсией дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонений случайной величины от ее математического ожидания:

D(X) = M [Х – М(Х)]²

ПРИМЕР 3.Найти дисперсию случайной величины Х, заданной законом распределения:

Х	1	2	5
P	0,3	0,5	0,2

РЕШЕНИЕ.

М(Х) = 1  0,3 + 2  0,5 + 5  0,2 = 2,3

Составим закон распределения квадрата отклонений случайной величины от ее математического ожидания.

[Х – М(Х)]2	(1 – 2,3) 2 = 1,69	(2 – 2,3) 2 = 0,09	(5 – 2,3) 2 = 7,29
р	0,3	0,5	0,2

D(X) = M[Х – М(Х)]² = 1,69  0,3 + 0,09  0,5 + 7,29  0,2 = 2,01

Для вычисления дисперсии существует другая, более удобная формула:

D(X) = M(Х²) – [М(Х)]²

Составим закон распределения Х²:

Х	1	4	25
P	0,3	0,5	0,2

Тогда:

M(Х²) = 1  0,3 + 4  0,5 + 25  0,2 = 7,3; D(X) = 7,3  2,3² = 2,01.

СВОЙСТВА ДИСПЕРСИИ:

1. D(C) = 0;

2. D(CX) = CD(X);

3. Если X,Y – независимые случайные величины, то

D(X + Y) = D(X) + D(Y);

4. D(C + X) = D(X);

5. D(X – Y) = D(X) + D(Y);

2. Дисперсия биномиального распределения равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в одном испытании:

D(X) = npq.

Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называют квадратный корень из дисперсии:

Среднее квадратическое отклонение также служит для оценки рассеяния возможных значений Х вокруг ее среднего значения. Из определения видно, что D(X) имеет размерность, равную квадрату размерности случайной величины. Значит (Х) имеет ту же размерность, что и случайная величина Х. Поэтому в тех случаях, когда желательно, чтобы оценка рассеяния имела размерность случайной величины, вычисляют среднее квадратичное отклонение, а не дисперсию.

Вероятность того, что отклонение случайной величины Х от ее математического ожидания по абсолютной величине меньше положительного числа ε, определяется неравенством Чебышева:

ПРИМЕР 4. Дискретная случайная величина Х имеет только два возможных значения: х₁ и х₂, причем х₁ < х₂. Найти закон распределения Х, зная математическое ожидание М(Х) = 2,6 и среднее квадратическое отклонение (Х) = 0,8. Кроме того известно, что Р(Х = х₁) = 0,2.

РЕШЕНИЕ. Так как сумма вероятностей всех возможных значений дискретной случайной величины равна единице, то Р(Х = х₂) = 1 – 0,2 = 0,8.

Напишем закон распределения Х:

Х	х1	х2
Р	0,2	0,8

По условию М(Х) = 2,6, следовательно,

0,2х₁ + 0,8х₂ = 2,6.

Найдем дисперсию:

D(X) = M(Х²) – [М(Х)]² = 0,2х₁² + 0,8х₂² – 2,6².

Тогда:

(Х) = .

Получаем систему уравнений:

Решая эту систему при условии, что х₁ < х_2, получим искомый закон распределения:

Х	1	3
Р	0,2	0,8

ПРИМЕР 5. Случайные величины X, Y – количество бракованных изделий в партии продукции, поставляемой первым и вторым заводами соответственно, заданы законами распределения:

X	1	2	3		Y	1	2	3
P	0,35	0,05	0,6		G	0,2	0,3	0,5

Найти: а) закон распределения для суммы этих случайных величин;

б) М(X + Y); D(X + Y); в) убедиться, что М(X + Y) = М(X) + М(Y), D(X + Y) = = D(X) + D(Y).

РЕШЕНИЕ.

а) Составим все возможные значения величины Z = X + Y и найдем их вероятности:

z₁₁ = x₁+y₁ = 1 + 1 = 2, p₁₁ = p₁g₁ = 0,35  0,2 = 0,07;

z₁₂ = x₁+y₂ = 1 + 2 = 3, p₁₂ = p₁g₂ = 0,35  0,3 = 0,105;

z₁₃ = x₁+y₃ = 1 + 3 = 4, p₁₃ = p₁g₃ = 0,35  0,5 = 0,175;

z₂₁ = x₂+y₁ = 2 + 1 = 3, p₂₁ = p₂g₁ = 0,05  0,2 = 0,01;

z₂₂ = x₂+y₂ = 2 + 2 = 4, p₂₂ = p₂g₂ = 0,05  0,3 = 0,015;

z₂₃ = x₂+y₃ = 2 + 3 = 5, p₂₃ = p₂g₃ = 0,05  0,5 = 0,025;

z₃₁ = x₃+y₁ = 3 + 1 = 4, p₃₁ = p₃g₁ = 0,6  0,2 = 0,12;

z₃₂ = x₃+y₂ = 3 + 2 = 5, p₃₂ = p₃g₂ = 0,6  0,3 = 0,18;

z₃₃ = x₃+y₃ = 3 + 3 = 6, p₃₃ = p₃g₃ = 0,6  0,5 = 0,3.

Одинаковые значения случайной величины Z объединим, при этом соответствующие вероятности сложим (применяя теорему сложения для несовместных событий). Возможные значения случайной величины запишем в таблице в порядке возрастания и получим закон распределения случайной величины Z = X + Y.

Z = X+Y	2	3	4	5	6
Р	0,07	0,115	0,31	0,205	0,3

Контроль: 0,07 + 0,115 + 0,31 + 0,205 + 0,3 = 1.

б) Находим М(X + Y):

М(X + Y) = M(Z) = = 20,07 + 30,115 + 40,31 + 50,205 + 60,3 = 4,55

Для вычисления дисперсии составим закон распределения Z² и найдем M(Z²).

Z2	4	9	16	25	36
Р	0,07	0,115	0,31	0,205	0,3

M(Z²) = 4  0,07 + 9  0,115 + 16  0,31 + 25  0,205 + 36  0,3 = 22,2

Находим дисперсию D(X+Y):

D(X + Y) = D(Z) = D(Z²)  M(Z)² = 22,2  4,55² = 1,4975.

в) Убедимся, что М(X + Y) = М(X) + М(Y), D(X + Y) = D(X) + D(Y).

М(X) = 1  0,35 +2  0,05 + 3  0,6 = 2,25;

М(Y) = 1  0,2 +2  0,3 + 3  0,5 = 2,3;

М(X) + М(Y) = 2,25 = 2,3 = 4,55.

Получили: М(X + Y) = М(X) + М(Y).

D(X) = M(Х²) – [М(Х)]² = 1  0,35 +4  0,05 + 9  0,6  2,25² = 0,8875;

D(Y) = M(Y ²) – [М(Y)]² = 1  0,2 +4  0,3 + 9  0,5  2,3² = 0,61;

D(X) + D(Y) = 0,8875 + 0,61 = 1,4975.

Получили: D(X + Y) = D(X) + D(Y).

ПРИМЕР 6. Вероятность появления события в каждом испытании равна . Пользуясь неравенством Чебышева оценить вероятность того, что число Х появления события будет заключено в пределах от 150 до 250, если будет произведено 800 испытаний.

РЕШЕНИЕ. Случайная величина Х распределена по биномиальному закону. Следовательно:

М(Х) = np =800  = 200;

D(Х) = npq = 800  = 150.

Найдем максимальную разность между назначенным числом появления события и математическим ожиданием М(Х) = 200:

ε = 250 –200 = 50

Воспользуемся неравенством Чебышева:

Подставив сюда М(Х) = 200, D(Х) = 150, ε = 50, получим:

.