6. Числовые характеристики непрерывных случайных величин.

Распространим понятие математического ожидания и дисперсии на непрерывные случайные величины.

Рассмотрим непрерывную случайную величину X, все возможные значения которой принадлежат отрезку a, b. И пусть f(x) – плотность распределения случайной величины X. Разобьем отрезок a, b. на n частичных отрезков с длинами x₁,…, x_n. Внутри каждого отрезка выберем произвольную точку x_i, i = 1, 2, …, n. Определим математическое ожидание X по аналогии с определением математического ожидания для дискретной случайной величины, а именно, составим сумму

,

где f(x_i)x_i – примерное значение вероятности попадания случайной величины на отрезок x_i. Переходя к пределу, получим:

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X, возможные значения которой принадлежат отрезку a, b , называют определенный интеграл

М(X) = .

Если все возможные значения непрерывной случайной величины X принадлежат всей оси Ox, то

M(X) = .

Дисперсией непрерывной случайной величины называют математическое ожидание квадрата ее отклонения. Если возможные значения X принадлежат отрезку a, b, то

D(X) = .

Если возможные значения принадлежат всей оси Ox, то

D(X) = .

Свойства математического ожидания и дисперсии дискретных случайных величин сохраняются и для непрерывных случайных величин. В частности:

D(X) = .

7. Равномерное распределение.

Непрерывная случайная величина имеет равномерное распределение на отрезке a, b, если на этом отрезке плотность распределения случайной величины постоянна, а вне отрезка равна нулю. А именно:

F(x) =

Функция распределения F(x) равномерного распределения имеет вид:

F(x)=

Найдем математическое ожидание и дисперсию случайной величины, распределенной равномерно в интервале (a, b):

M(X)= ;

8. Нормальное распределение.

Среди распределений непрерывных случайных величин нормальный закон (закон Гаусса) занимает основное место.

Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которая описывается плотностью:

Здесь а,  - параметры нормального распределения

Функция распределения случайной величины, имеющей нормальное распределение, имеет вид:

Непосредственным вычислением можно показать, что:

М(X) = a, D(X) = σ².

ЗАМЕЧАНИЯ.

1. Нормальное распределение с произвольными параметрами a и σ (σ ≥ 0) называют общим. Если a = 0 и σ = 1, то нормальное распределение называют нормированным.

2. Функция нормированного распределения

протабулирована.

Легко проверить, что

3. Вероятность попадания нормированной случайной величины Х в интервал (0, х) можно вычислить через функцию Лапласа:

4. Если случайная величина Х распределена по нормальному закону с параметрами a и σ, то:

Р( < Х < ) =

График плотности нормального распределения называют нормальной кривой (кривой Гаусса):

ПРИМЕР. Автомат штампует детали. Контролируется длина детали Х, которая распределена нормально с математическим ожиданием (проектная длина), равным 50 мм. Фактически длина изготовленных деталей не менее 32 мм. и не более 68 мм. Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали: а) больше 55 мм; б) меньше 40 мм.

РЕШЕНИЕ. По условию Р(32 < Х < 68) = 1. Воспользуемся формулой:

Р(< Х < ) =

Подставив сюда  = 32,  = 68, а = 50, получим

Р(32 < Х < 68) =

Отсюда = 0,5. По таблице находим: ,

Тогда вероятность того, что длина наудачу взятой детали больше 55 мм равна:

Р(55 < Х < 68) = = 0,0823

Аналогично:

Р(32 < Х < 40) = = 0,0027