23 Решение системы конечно-разностных уравнений методом прогонки (для случая неустановившейся плоскопараллельной фильтрации жидкости в пласте с единичными коэффициентами).
(Pi-1,k-1- 2Pi,k-1+ Pi+1,k-1)/(∆x)2=(Pi,k- Pi,k-1)/τ+fi,k,…..(17), где (Pi-1,k-1, Pi,k-1, Pi+1,k-1-известны).
Ур-е (17) соотв-т явной конечно-разностной схеме.
(Pi-1,k- 2Pi,k+ Pi+1,k)/(∆x)2= Pi,k- Pi,k-1/τ+fi,k,…..(18)-неявная схема, i=1,n.
(n-1)+2=n+1-неизвестных ур-й; (n-1) ур-й для внутренних узлов. Составляя систему ур-й по неявной схеме, получаем (n-1) ур-е для внутренних узлов с (n+1) неиз-ми давлениями. Чтобы сделать систему замкнутой записывают систему при (i=0,i=n) граничных условиях δр/δх=0. Итак, записывая производные на границах в виде: (Р1,к-Р0,к)/∆х=0,….(19)→ Р0,к= Р1,к,….(21), (Рn,к-Р(n-1),к)/∆х=0,….(20)→ Р(n-1),к= Рn,к,…(22). Итак, мы имеем замкнутую систему (18,21,22). Ее решают методом прогонки значений систем конечно-разностных схем неявн. ур-й.
Для i=1 →(18)→ (P2,k- 2P1,k+ P0,k)/(∆x)2= (P1,k- P1,k-1)/τ+f1,k,……(23)
Подставим (21) в (23) получим:
(P2,k- P1,k)/(∆x)2= (P1,k- P1,k-1)/τ+f1,k,……(24)
Р2,к=Р1,к(1+(∆x)2/τ)- (∆x)2/τ*Р1,к-1
Р1,к=А1,кР2,к+С1,к,….(26)
А1,к=1/(1+(∆x)2/τ); С1,к=((∆x)2/τ)/(1+(∆x)2/τ)*(Р1,к-1-τ*f1,к),….(27)
Для i=2: Р2,к=А2,кР3,к+С2,к,….(28)
А2,к=1/(2-А1,к+(∆x)2/τ) ,….(29)
С2,к={(С1,к+(∆x)2/τ))*(Р2,к-1-τ*f2,к)}/(2-А1,к+(∆x)2/τ)
Для i: Рi,к=Аi,кР(i+1),к+Сi,к,….(30)
Аi,к=1/(2-Аi-1,к+(∆x)2/τ) ,….(31)
Сi,к={(Сi-1,к+(∆x)2/τ))*(Рi,к-1-τ*fi,к)}/(2-Аi-1,к+(∆x)2/τ)
Для i=n-1: Рn-1,к=Аn-1,кРn,к+Сn-1,к,….(32)
С учетом (22) получим: Рn-1,к= Сn-1,к /(1-Аn-1,к),….(33)
Коэф-ты А и С наз. прогоночными коэф-ми и решение системы конечно-разностных ур-й сводится к следующему. Сначала в порядке возрастания i вычисляется прогоночные коэф-тыв порядке возрастания I (слева на право). Давления вычисляются в обратном порядке (справо налево), т.е. в порядке убывания индекса i.В этом состоит суть прогонки.
Применение явной схемы возможно при выполнении условия: τ≤(∆х)2/2. При этом условии обеспечивается сходимость. Неявная схема не требует таких ограничений и в принципе характеризуется сходимостью. Для 2х,3хмерных задач могут быть неявно-явные схемы. Для 2х мерного случая:
{Рi+1,j,k+1-2Рi-1,j,k+1+Pi-1,j,k+1/(∆x)2}+ {Рi,j+1,k-2Рi,j,k+Pi,j-1,k/(∆у)2}= (Рi,j,k-Рi,j,k-1)/(τ)
Неявная конечно-разностная схема 1 мерн. фильтрации характер-т 3х диагональной матрицей, а для 2х мерн. фильтрации и 5ти диагон-ю матриц. Время расчетов возрастает для 3х мерн-й – 7 диагон. Чтобы понизить размерность матриц вводят промежуточный временной слой к+1/2, при этом полагают, что изменение давления в к+1/2 слое происходит только в направлении оси х, а на к слое только в направлении оси у:
к+1/2: {Рi+1,j,k+1/2-2Рi-1,j,k+1/2+Pi-1,j,k+1/2/(∆x)2}=(Рi,j,k+1/2-Рi,j,k-1)/(τ)
к: {Рi,j+1,k-2Рi,j,k+Pi,j-1,k/(∆у)2}= (Рi,j,k-Рi,j,k+1/2)/(τ)