§ 5. Признак сходимости Даламбера.

Признак сходимости Даламбера: если в ряде с положительными членами

отношение (n+1) – го члена к n – му при имеет конечный предел q, то есть

то ряд (1) сходится при условии, что q<1, и расходится при условии, что q>1

Если q=1, то ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся. В этом случае должны быть использованы другие признаки сходимости.

Пример 1. Исследовать на сходимость ряд .

Решение.

Применяем признак Даламбера:

Так как, q<1 то по признаку Даламбера исследуемый ряд сходится.

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Применяем признак Даламбера:

Так как q=5>1, то по признаку Даламбера ряд расходится.

§ 6. Признаки сходимости Коши.

1. Интегральный признак сходимости Коши

Интегральный признак сходимости Коши: если функция на промежутке является непрерывной, положительной и монотонно убывающей, то числовой ряд

,

где сходится, если сходится несобственный интеграл и расходится, если этот несобственный интеграл расходится.

Пример. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Применим интегральный признак сходимости Коши. Чтобы составить функцию , достаточно в формуле общего члена ряда заменить n на x. Таким образом, Как видно, функция

на промежутке является непрерывной, положительной и убывающей. Рассмотрим соответствующий несобственный интеграл:

Так как несобственный интеграл сходится, то по признаку Коши сходится и исследуемый ряд.

2.Радикальный признак сходимости Коши.

Если для ряда с положительными членами u₁+u₂+u₃+u₄+…..+u_n+….

величина =q, то

1. в случае q<1-ряд сходится;

2. в случае q>1-ряд расходится;

3. в случае q=1-использовать другие признаки сходимости.

Пример. Исследовать сходимость ряда :

Решение.Применим признак Коши:

Ряд сходится.

§ 7. Знакочередующиеся ряды.

Признак Лейбница.

Если среди членов данного ряда имеются как положительные, так и отрицательные (притом и тех и других неограниченное число), то такой ряд называется знакопеременным.

Знакопеременный ряд называется знакочередующимся, если любые два члена рядом стоящие имеют противоположные знаки. Знакочередующийся ряд можно записать так:

(1)

где все числа (n=1,2,3…) положительны.

Для знакочередующихся рядов справедлив следующий признак сходимости - признак Лейбница.

Признак Лейбница. Если члены ряда (1) монотонно убывают по абсолютной величине и общий член стремится к нулю при то ряд сходится и его сумма по абсолютной величине не превосходит абсолютной величины члена.

Пример. Доказать сходимость ряда:

Решение. Данный знакочередующий ряд удовлетворяет условиям признака Лейбница. Члены ряда по абсолютной величине монотонно убывают, так как

Следовательно, по признаку Лейбница этот ряд сходится.