§ 8. Оценка остатка ряда.
Знакочередующий ряд, удовлетворяющий условиям
признака Лейбница, обладает следующим свойством:
Если сумму такого ряда заменить n-ой частичной суммой:
Sn=u1-u2+u3-……+(-1)n-1un ,
то есть отбросить остаток Rn=S-Sn, то при этом будет допущена ошибка, абсолютная величина которой меньше абсолютной величины первого отброшенного члена un+1.
Пример . Дан сходящийся ряд
Сколько членов ряда достаточно учесть, чтобы допущенная ошибка была по абсолютной величине меньше 0,001?
Решение.
так
как,
то, ограничившись суммой первых шести
членов, будет допущена ошибка, абсолютная
величина которой меньше 0,001.
§ 9. Абсолютная и условная сходимость рядов.
Пусть дан ряд с членами произвольного знака
(1)
Составим новый ряд из абсолютных величин членов ряда (1):
(2)
Ряд (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов, то есть сходится ряд (2).
Ряд (1) называется условно сходящимся, если он сходится, но ряд, составленный из абсолютных величин его членов, то есть ряд (2), расходится.
Пример. Доказать, что ряд.
сходится условно.
Решение. Если составить ряд из абсолютных величин членов данного ряда, то получим гармонический ряд, который, как известно, расходится. Что же касается данного ряда, то он сходится по признаку Лейбница. Следовательно, данный ряд сходится условно.
Пусть ряд (1) с членами произвольного знака сходится абсолютно. Если в этом ряду выбрать только положительные или отрицательные члены, то полученные ряды будут оба сходящимися. Если же ряд (1) сходится условно, то ряды, составленные только из положительных или отрицательных его членов, будут оба расходящимися рядами.
§ 10 Свойства абсолютно сходящихся рядов.
Абсолютно сходящиеся ряды обладают следующими свойствами:
Свойство №1. Если ряд (1) сходится абсолютно и имеет сумму S, то любой ряд, полученный из него любой перестановкой членов, сходится абсолютно и имеет сумму S.
Свойство
№2.
Если ряды
и
сходятся абсолютно и их суммы соответственно
равны
и
,
то ряд, составленный из всех произведений
вида
взятых в каком угодно порядке, также
сходится абсолютно и его сумма равна
Ряд, составленный из всевозможных произведений вида: называют произведением абсолютно сходящихся рядов и .
Пример.
Доказать, что ряд
сходится абсолютно.
Решение.
Положительные члены данного ряда
образуют сходящуюся геометрическую
прогрессию
сумма которой равна 2. Аналогично
отрицательные члены данного ряда
образуют прогрессию
сумма которой равна
Следовательно,
данный ряд сходится абсолютно и сумма
его равна
Глава 2 Степенные ряды.
§ 1. Функциональный ряд и его область сходимости. Интервал
и радиус сходимости степенного ряда.
Пусть дана бесконечная последовательность функций
имеющих общую область определения.
Функциональным рядом называется , составленное из этих
функций, выражение вида:
Функциональный ряд (1) при одних значениях аргумента х может
оказаться
сходящимся числовым рядом, а при других
значениях аргумента х – расходящимся
числовым рядом. Если функциональный
ряд (1) сходится при
то говорят, что ряд сходится в точке
Областью сходимости ряда (1) называется совокупность всех значений аргумента х, при которых этот ряд сходится.
Если
члены
функционального ряда (1) являются
степенными функциями аргумента х, то
ряд называется степенным.
Степенным рядом называется ряд вида:
где
данное
число, а
известные
числовые коэффициенты. В частности,
если
,
то получаем степенной ряд:
Очевидно,
степенной ряд (3) всегда сходится при
Определение области сходимости степенного ряда (3) базируется на следующей теореме Абеля.
Теорема Абеля. Если степенной ряд (3) сходится
при
то он сходится абсолютно при любом
значении х, удовлетворяющем неравенству
Если
же степенной ряд (3) расходится при
то он расходится при любом значении х,
удовлетворяющем неравенству
Из
теоремы Абеля следует, что если степенной
ряд сходится в точке
то он сходится в интервале
Для
всякого
степенного ряда, который имеет точки
сходимости (кроме точки х=0) и точки
расходимости, существует некоторое
число R>0,
при этом ряд сходится во всех точках,
для которых
и расходится во всех точках, для которых
Это число R
называется радиусом сходимости ряда
(3). Если ряд (3) сходится только при
,
то полагаем R=0.
Если же ряд (3) сходится при любом значении
х, то полагают
Интервалом
сходимости ряда (3) называется интервал
(-R,
R).
Чтобы найти область сходимости
степенного ряда (3), надо сперва определить
интервал сходимости (-R,
R)
и затем выяснить вопрос о сходимости
ряда на концах интервала, то есть при
и при
На практике радиус сходимости степенного ряда (3) отыскивают с помощью признака Даламбера. Применим признак Даламбера к ряду, составленному из абсолютных величин членов ряда (3).
где
Ряд (3) сходится абсолютно при всех тех значениях х, которые удовлетворяют неравенству:
или -R<x<R, (4)
где
радиус сходимости
Отметим, что формула (5) справедлива только в том случае, если степень х при переходе от одного члена к следующему возрастает строго на единицу.
Если
степенной ряд имеет вид:
,
то для определения области сходимости ряда (6) произведем замену
х-а=Х.
Значит ряд (6) будет сходится при
R
и интервалом сходимости ряда (6) будет
интервал (а-R,а+R).
Для степенных рядов справедливы следующие теоремы:
Теорема 1. Сходящийся степенной ряд можно почленно дифференцировать любое число раз внутри его области сходимости.
Теорема 2. Сходящийся степенной ряд можно почленно интегрировать в любом промежутке, содержащемся внутри области сходимости данного ряда.
Пример 1. Найти область сходимости степенного ряда.
Решение.
Радиус
сходимости
Следовательно, ряд сходится абсолютно в интервале (-1, 1).
Теперь исследуем поведение ряда на границах найденного интервала, то есть при х=-1 и при х=1.
Если
х=-1, то получаем ряд
который сходится по признаку Лейбница.
Если х= +1, из (*) получаем гармонический ряд, который расходится.
Таким образом, область сходимости данного ряда есть промежуток [-1, 1).
Пример 2. Найти область сходимости ряда:
Решение. Положив х-а=Х, получим ряд Х+Х2+Х3+…….+Хn+….
Этот ряд сходится при -1<Х<1. Следовательно, данный ряд сходится при всех х, для которых -1<х-2<1, т.е. при 1<х<3.