3. Теорема о движении центра масс.

Сложим почленно правые и левые части уравнения (11):

Запишем левую часть в несколько иной форме:

Так как масса каждой точки во время движения остаётся неизменной, внесём её под знак производной:

а так как сумма производных равна производной суммы, поменяем местами знаки суммирования и дифференцирования:

Замечая, что сумма в этом выражении на основании формулы (8) равна запишем окончательно:

(13)

Это уравнение выражает теорему о движении центра масс механической системы, а сравнение выражений (10) и (13) позволяет сформулировать теорему: центр масс механической системы движется как материальная точка, в которой сосредоточена вся масса механической системы и к которой приложены все внешние силы, действующие на систему.

Это утверждение позволяет сделать мотивированное разграничение понятий: материальная точка и материальное тело, а именно: если нас интересуют угловые перемещения объекта, то его следует отнести к понятию «материальное тело», а если нет, и мы интересуемся только положением его центра масс, то объект можно считать материальной точкой.

Следствия из теоремы.

1. Внутренние силы непосредственно не влияют на движение центра масс механической системы. Это заключение, вытекающее из формулы (13), позволяет отвергать как совершенно бесперспективные различные проекты устройств, которые перемещались бы исключительно внутренними силами.

2. Центр масс замкнутой механической системы движется равномерно и прямолинейно, т.к. при

3. Если проекция главного вектора внешних сил на какую-нибудь ось (например, ось х) равна нулю, то , а если, кроме того, при t=0 то , то есть центр масс при этом вдоль оси х перемещаться не будет.

Итак, теорема о движении центра масс исключает из рассмотрения все внутренние силы, но при этом позволяет решить задачу только лишь в отношении некоторой геометрической точки, а решение задачи о движении материальных точек связывается при этом с определенными условиями их перемещений.

Пример 2

На одном конце лодки, находящейся в покое, в точке А стоит человек, он переходит затем на другой её конец в точку В. Определить, пренебрегая сопротивлением воды, на какое расстояние передвинется при этом лодка, если вес лодки равен Р, вес человека равен Q.

Р ешение: На основании следствия из теоремы о движении центра масс, замечая что проекции всех сил на ось х равны нулю, имеем V_cx=C₁, а поскольку С₁=0, то х_с=С₂, т. е. центр масс системы останется на месте. Запишем равенство, определяющее положение центра масс в начале движения

и в конце движения

Вычтем из первого равенства второе

умножая на g, получим

Подставим данные

получим

знак «-» указывает на то, что лодка передвинется влево.

Контрольные вопросы

1. Что называется механической системой?

2. Что такое центр масс механической системы?

3. Как формулируется теорема о движении центра масс?

4. Как движется центр масс замкнутой механической системы?

4. Количество движения механической системы.

Количество движения отдельной материальной точки

Количество движения механической системы определяется как геометрическая сумма количеств движения материальных точек, составляющих систему:

(14)

Это выражение можно несколько усовершенствовать, пользуясь теми же приёмами, что использовались в доказательстве предыдущей теоремы:

(15)

4. Импульс силы.

В связи с тем, что эффект действия силы связан не только с её величиной и направлением, но и с продолжительностью действия, введем в рассмотрение меру действия силы – импульс силы:

Если сил несколько, то аналогично понятию «главный вектор» вводится понятие «главный импульс» внешних сил.

(16)

5. Теорема об изменении количества движения

Используя формулу (13), запишем:

но , тогда

Так как масса системы неизменна во всё время движения, её можно внести под знак производной:

и окончательно:

(17)

Это и есть математическая запись теоремы об изменении количества движения в дифференциальной форме.

Производная по времени от количества движения механической системы равна главному вектору внешних сил.

Разделив неизвестные и проинтегрировав, получим выражение

(18)

где Q₂ – количество движения механической системы при ;

Q₁ – количество движения механической системы в начале отсчета;

S^e – главный импульс внешних сил за время .

Приращение количества движения механической системы за время равно главному импульсу внешних сил на то же время.

Следствия из теоремы

1. Внутренние силы непосредственно не изменяют количества движения механической системы.

2. Количество движения замкнутой механической системы есть величина постоянная. Действительно: при Это следствие иногда называют законом сохранения количества движения.

3. При равенстве нулю проекции главного вектора внешних сил на какую-нибудь ось (например, х) проекция количества движения на эту ось есть величина постоянная.

Необходимо отметить также, что количество движения не является универсальной мерой движения. Например, при движении механической системы вокруг неподвижного центра масс количество движения остаётся равным нулю, а все материальные точки в это время могут двигаться.