11. Теорема об изменении кинетической энергии

Запишем основное уравнение динамики точки:

или

.

Умножим скалярно правую и левую части равенства на :

замечая, что , запишем:

.

Имея в виду, что

получим:

Так как масса точки во время движения не меняется, то

и окончательно получим:

(26)

Дифференциал кинетической энергии материальной точки равен элементарной работе сил, приложенных к точке.

Разделив правую и левую части на dt, получим:

В правой части записано выражение, определяющее мощность всех сил, приложенных к материальной точке:

(27)

Таким образом, формулировка второй дифференциальной формы теоремы энергии может быть записана следующим образом: «Производная по времени от кинетической энергии материальной точки равна мощности сил, приложенных к точке».

Третья, интегральная, форма теоремы может быть получена интегрированием правой и левой части равенства (18) в пределах от М₁ до М₂ по траектории перемещения материальной точки:

(28)

Правая часть равенства представляет собой работу сил, приложенных к точке, тогда

(29)

т. е. изменение кинетической энергии материальной точки на некотором перемещении равно работе сил, приложенных к этой точке на том же перемещении.

Следует заметить также, что интеграл в правой части равенства (28) в общем случае имеет вид

Полученную теорему, не изменяя обозначений, можно распространить и на механическую систему, имея в виду, что кинетическая энергия определяется для всей системы, а работа подсчитывается для внешних и внутренних сил.

П ример 5

На шкив радиуса r весом Q, вращающийся вокруг горизонтальной оси О, навернута веревка, к концу которой привязана гиря весом Р; в начале система находится в покое. Найти угловую скорость шкива в тот момент, когда груз опустится на расстояние h.

Решение: Применим теорему об изменении кинетической энергии Т₂-Т₁=А_1,2. Но Т₁=0, тогда Т₂=А_1,2

Работу совершает только сила тяжести груза

Контрольные вопросы

1. Что называется кинетической энергией материальной точки?

2. Как определяется работа и мощность силы?

3. Как определяется элементарная работа силы?

4. Как формулируются дифференциальные и интегральная формы теоремы об изменении кинетической энергии?

Библиографический список

1. Айзерман М.А. Классическая механика. М.: Наука, 1974. 368 с.

2. Бутенин Н.В., Лунц Я.Л., Меркин Д.Р. Курс теоретической механики. М.: Наука, 1970. Т.2. 460 с.

3. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики. М.: Высшая школа, 1995. 415 с.

4. Яблонский А.А. Курс теоретической механики. М.: Высшая школа, 1971. Ч. 1. 275 с.

5. Добронравов В.В., Никитин Н.Н. Курс теоретической механики. М.: Высшая школа, 1983. 532 с.

6. Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике. Учеб. пособие для вузов./ Под ред. А.А Яблонского. и др. М.: Высшая школа, 1985. 367 с.

7. Бать М.И. и др. Теоретическая механика в примерах и задачах /М.И.Бать, Г.Ю.Джанелидзе, А.С.Кельзон. М.: Физматгиз, 1961. Ч.1. 457 с.

8. Мещерский Н.В. Сборник задач по теоретической механике. М.: Наука, 1971. 450 с.