1.Считается предпочтительным найти сначала потенциалы и , а уже затем и

Уравнения для потенциалов (в компонентах) являются уравнениями Даламбера вида

, где

Общее решение уравнения Даламбера

складывается из общего решения однородного уравнения

И любого частного решения исходного неоднородного уравнения (с ненулевой правой частью).

Первое слагаемое представляет собой выражение для ЭМ волн, существующих в пространстве в отсутствие источников поля (правая часть равна 0). Вид этих волн определяется начальными условиями.

Второе слагаемое описывает поле, создаваемое конкретной системой зарядов. В ряде задач потенциалы определяются с точностью до констант, которые ищутся, исходя из удобства нормировки потенциала.

Для замкнутой изолированной системы зарядов они могут определяться из ограничений, накладываемых известным характером поведения потенциалов вблизи выделенных точек, или с увеличением расстояния от системы зарядов.

2.По известным потенциалам находятся векторы поля

_{Свободное ЭМ поле}

_{ЭМ поле в отсутствие электрических зарядов называют свободным ЭМ полем. Оно описывается решением однородных уравнений для потенциалов вида}

_,

_{которые называются волновыми уравнениями.}

_{Наличие ненулевых решений этого уравнения означает способность ЭМ поля существовать в отсутствие зарядов.}

_{Волной называется процесс распространения в пространстве временных изменений некоторой величины. Фазовая скорость волны определяется, как скорость движения волнового фронта, который определяется условием постоянства фазы, и может иметь разную форму. Можно следить за некоторой «фазовой меткой» волны, которой может быть, например, горб или впадина.}

Плоские волны

Геометрическое место точек, где фаза волны имеет одно и то же значение, называется волновым фронтом. В случае плоской волны волновой фронт определяется уравнением плоскости перпендикулярной единичному направляющему вектору . Фаза волны равна . В случае, когда , волна распространяется вдоль оси x, и волновое уравнение имеет вид

Непосредственной проверкой можно убедиться, что оно имеет общее решение вида

Где f₁ и f₂ – произвольные функции, которые однозначно определяются начальными условиями

f_1,2– представляет собой бегущие волны, распространяющиеся f₁ – вправо, а f₂ – влево вдоль оси x. Значение аргумента задает фазу волны. Участок с фиксированной фазой – «метка»

распространяется со скоростью c, которая находится дифференцированием

При распространении волны в произвольном направлении, задаваемом единичным направляющим вектором подстановкой можно убедиться, что волновое уравнение допускает решение

,

Полученное здесь решение волнового уравнения представляет собой ЭМ плоские волны, распространяющиеся в направлении со скоростью с.

Выбирая систему координат с осью ОХ, направленной вдоль , мы возвращаемся к исходному одномерному уравнению, которое, следовательно, имеет самый общий характер применительно к плоским волнам.

Частное решение волнового уравнения (для чего они нужны?)

Непосредственной подстановкой можно убедиться, что волновое уравнение имеет частные решения вида

Где и удовлетворяют уравнению

Частные вещественные решения волнового уравнения для ЭМ потенциалов получаются отсюда как линейные комбинации экспонент. С применением формулы Эйлера

они могут быть представлены, например, в виде

Эти частные решения описывают так называемые плоские монохроматические гармонические волны с частотой и длиной волны .

ЭМ волны образуют полную систему функций. Поэтому для построения общего решения волнового уравнения достаточно взять линейную комбинацию плоских волн

которая с математической точки зрения представляет собой разложение в интеграл Фурье, где и компоненты волнового вектора изменяются в пределах .

Комплексные коэффициенты разложения находятся с помощью обратного преобразования Фурье из начальных условий

и

.

При этом для вещественных решений выполняется условие .

Аналогично можно записать общее решение для векторного потенциала

Как будет показано позже, волны векторного потенциала являются поперечными .

Сферические волны

Если источники ЭМ поля являются точечными, то поле должно обладать центральной симметрией (не должно зависеть от углов! а только от расстояния до места расположения источников).

В этом случае наиболее удобной является сферическая система координат, где уравнение имеет вид

Оно эквивалентно уравнению

В соответствии с проведенным выше рассмотрением имеем

Это решение интерпретируется как две бегущие сферические волны: расходящиеся от центра, амплитуда которой убывает как и сходящиеся к центру, амплитуда которой растет как .

Г.м.т постоянной фазы определяется уравнением .

Т.е. волновой фронт представляет собой сферу. Свободное поле, созданное источником, ассоциируется только с расходящейся сферической волной.

Для приложений особый интерес представляют гармонические сферические волны вида

Подчеркнем, что этот случай сводится к одномерному . Так что разложение ЭМ потенциалов имеет вид

ЭМ потенциалы для стационарных источников поля

В этом случае ЭМ потенциалы тоже не зависят от времени, а уравнения Даламбера сводятся к уравнениям Пуассона

Для точечного заряда , движущегося со скоростью

, где – место расположения заряда.

Соответственно уравнения Пуассона имеют вид

Опираясь на математическое тождество

,

получаем для потенциалов

В случае непрерывного распределения источников выделим элементарный объем , источники в пределах которых и можно считать точечными. Тогда их вклад в ЭМ потенциалы можно представить в виде

Результирующие ЭМ потенциалы, создаваемые всеми элементами зарядов и токов получаются согласно принципу суперпозиции суммированием по всему объему, занимаемому зарядами и токами

– ЭМ потенциалы в стационарном случае

непрерывного распределения источников. Переход к точечным зарядам осуществляется с помощью введения микроскопических плотностей .

Запаздывающие потенциалы

Найденные полем ЭМ потенциалы представляют собой решения уравнений Пуассона, которые, как легко видеть, получаются из уравнений Даламбера в пределе c→∞, что соответствует мгновенной реакции поля во всем пространстве на изменения источников.

Т.е. мы могли бы воспользоваться в случае мгновенного распространения возмущения ЭМ потенциалами вида

Однако, учитывая конечность скорости распределения возмущений, мы должны учесть, что поле в точке наблюдения в момент времени создано зарядами и токами существовавшими в точках в момент времени ; т.е. для точечного источника (заряда)

ЭМ потенциалы, создаваемые зарядами и токами, занимающими объем , получаются интегрированием по всему объему

Опережающие потенциалы возникли из-за симметрии уравнений ЭД относительно обращения времени. В микроскопической ЭД эта симметрия не ведет к наблюдаемым физическим эффектам.

Опережающие потенциалы противоречат принципу причинности и далее не рассматриваются.

Итак, общее решение имеет вид

.

На больших расстояниях любая система зарядов конечных размеров может рассматриваться как точечная, а создаваемое ею поле как сферические волны

, где - расстояние от центра описанной сферы

Если велико по сравнению с размерами области, где ведутся наблюдения, которое, однако, существенно больше длины волны, то

и сферическую волну приближенно можно считать плоской.

Свободное поле можно считать порожденным внешними по отношению к рассматриваемой системе зарядами за все предшествовавшее данному моменту время.

Запаздывающие потенциалы поля, создаваемого ограниченной системой зарядов, зависят от распределения источников в моменты времени, отстоящие от данного на величину R/c, где R-максимальное расстояние до системы зарядов.

Предыдущая история не имеет практического значения.

На практике часто начальные условия упрощаются: считается, что до t=0 система описывалась стационарным распределением источников. А начиная с t=0 поле начинает изменяться вместе с источниками . Поэтому при t=0 потенциалы определяются постоянными начальными условиями, а затем выражениями для запаздывающих потенциалов. Однако, явное вычисление запаздывающих потенциалов представляет собой задачу, имеющую, как правило, аналитическое решение лишь в достаточно простых случаях.