Стационарное эм поле

Стационарное ЭМ поле – это поле независящее от времени. Оно возникает при условии постоянства плотностей заряда и тока во времени и . Следовательно, и . (Кроме того, отметим, что независимость поля от времени означает, что мы исключаем из рассмотрения волновые поля, являющиеся существенно зависящими от времени)

Уравнения Максвелла для стационарного ЭМ поля получаются отбрасыванием членов, содержащих временные производные. В результате они распадаются на две независимые подсистемы

для электростатического

и магнитостатического

полей.

Соответствующие уравнения для ЭМ потенциалов получаются также отбрасыванием членов, содержащих производные по времени, и имеют вид для электростатического потенциала и – для векторного потенциала. Эти уравнения в математике известны как уравнения Пуассона.

Частное решение этих уравнений можно получить из выражений для запаздывающих потенциалов, убирая в них зависимость величин и от времени:

В случае неподвижных электрических зарядов стационарное электрическое поле называют электростатическим.

Никаких особенностей по сравнению со стационарным электрическим полем, существующим при стационарно движущихся зарядах у него нет.

Поэтому термин электростатическое поле часто используется как синоним стационарного или постоянного электрического поля.

Следует отчетливо сознавать разницу между стационарным электрическим и магнитным полями:

• электростатическое поле неподвижных зарядов существует без магнитного поля

• магнитостатическое поле связано с движением зарядов, зависящих от электрического поля. Поэтому хотя напрямую оно независимо от электрического поля, но существует вместе с ним. В том смысле, что ток проводимости , входящий в уравнения Максвелла, создается электрическим полем.

Общее решение уравнений Пуассона получается добавлением к его частному решению общего решения соответствующих однородных уравнений

и ,

которые называются уравнениями Лапласа. Эти решения описывают внешние по отношению к рассматриваемой системе зарядов и токов поля, создаваемые какими-то другими источниками.

Уравнения Лапласа имеют самостоятельное значение при решении задач на нахождение полей в пространстве без источников, удовлетворяющих определенным граничным условиям.

Для стационарных полей часто более мощным средством решения задач (особенно задач на нахождение распределения источников по заданному полю) являются уравнения Максвелла в интегральной формулировке.

Стационарное электрическое поле в вакууме

Электрическое поле системы зарядов на большом удалении. Дипольный момент системы.

Опишем минимальную сферу, включающую в себя конечную систему зарядов. Поместим начало координат в центр этой сферы и рассмотрим поле этой системы зарядов на расстояниях много больше радиуса описанной сферы . Для простоты рассмотрим систему точечных зарядов, электростатический потенциал которой имеет вид

.

Введем следующие обозначения

и разложим в ряд Тейлора по малому параметру :

Тогда

где – потенциал, создаваемый суммарным зарядом системы .

– вклад в потенциал, обусловленный дипольным моментом системы . Его можно представить в виде , где – угол между дипольным моментом и радиус-вектором.

Отметим, что в отличие от первого слагаемого , спадающего с расстоянием как , второе слагаемое на больших расстояниях спадает как .

Природные зарядовые системы, например атомы и молекулы, в естественном состоянии электронейтральны. В этом случае разложение для потенциала начинается со второго члена.

Можно показать, что дипольный момент электронейтральной системы не зависит от выбора начала координат. Действительно, перенос начала координат дает

Если система имеет ненулевой заряд, то и подходящим выбором начала координат можно занулить дипольный момент системы. Для этого достаточно поместить начало координат в точку с радиус-вектором .

Для непрерывного распределения зарядов электрический дипольный момент определяется интегралом

По аналогии с макроскопической плотностью заряда введем понятие макроскопической плотности дипольного момента для системы точечных дипольных моментов

Дипольный момент системы

Роль элементарного диполя , входящего в определение играет система двух точечных, равных по модулю и противоположных по знаку зарядов

Расстояние между которыми пренебрежимо мало по сравнению с характерными пространственными масштабами задачи. Т.е. имеется в виду предел при фиксированном значении .

С помощью величины второе слагаемое в разложении потенциала представляется как сумма вкладов от дипольных моментов , заключенных в элементарных объемах с радиусом-вектором ,

.

Т.е. потенциал, создаваемый всей системой диполей, имеет вид

.

Дипольный вклад в напряженность электрического поля на больших расстояниях равен

Т.е. поле электронейтральной системы убывает на больших расстояниях как и имеет резко выраженную асимметрию. Проекция на радиальное направление равна:

,

проекция на единичный направленный вектор вдоль меридиана

.

Квадрупольный момент

Электронейтральная система зарядов с нулевым дипольным моментом на больших расстояниях дает . Такая система называется квадруполем.

П ример

В этом случае разложения потенциала начинается с третьего слагаемого

.

Входящий сюда тензор второго ранга

называется квадрупольным моментом системы.

В случае непрерывного распределения заряда квадрупольный момент определяется как

Квадрупольный вклад в потенциал может быть представлен в виде

Свойства симметрии квадрупольного момента

Из симметрии и произведения относительно перестановки индексов следует симметрия тензора квадрупольного момента

.

Из определения следует, что его след

.

Т.е. тензор квадрупольного момента в общем случае имеет только 5 независимых компонент.

В специальном случае осевой симметрии из определения следует

,

т.е. недиагональные элементы равны нулю.

Кроме того

.

Но

где ­– полином Лежандра.

Пример:

-a (-2q) a ;

+q 0 +q

,

.

Соответствующий квадрупольный вклад в потенциал равен

Работа и энергия электростатического поля. Сила и момент силы, действующие на жесткую систему зарядов во внешнем электростатическом поле.

Элементарная работа по перемещению точечного заряда во внешнем поле

Работа при конечном перемещении

определяется разностью значений величин в начальной и конечной точках, и не зависит от траектории.

По этой причине величину естественно использовать в качестве энергетической характеристики системы заряд-поле. Она называется потенциальной энергией заряда во внешнем поле

.

Для системы точечных зарядов получаем

,

а для непрерывного распределения

.

Если потенциал слабо меняется в пределах системы, то можно воспользоваться полученным выше разложением

и получить приближенное выражение для энергии системы зарядов в слабонеоднородном поле

.

Рассмотрим жесткую систему зарядов, относительное расположение которых фиксировано. Тогда, как было показано в механике, действие всех внешних сил на эту систему сводится к действию главного вектора сил и главного момента сил . В дипольном приближении имеем и для электронейтральной системы , так как . Главный момент представляет собой обобщенную силу, сопряженную обобщенной координате – углу между векторами и .

Угол описывает поворот вокруг оси, перпендикулярной плоскости, в которой лежат вектора и . Из анализа сил, показанных на схеме,

следует векторное равенство

.