15. Уравнения движения идеальной жидкости.

Жидкости, в которых силой трения между слоями пренебрегают, называется идеальными. В таких жидкостях отсутствуют касательные и справедливый закон Паскаля:

 

Знак минус перед нормальными связан с тем, что положительными тиснениями считают растяжение, а давление - это сжатие. Тогда, дифференциальные уравнения движения сплошной примут вид:

 

Эти уравнения называются дифференциальными уравнениями движения Эйлера, при постоянной плотности они содержат четыре неизвестные функции: 

15. Закон сохранения массы.

Суть закона сохранения массы заключается в том, что масса не может исчезать, либо возникать, т.е. суммарное количество массы в закрытой системе неизменно (закрытая не обменивается массой с окружающей средой), следовательно, М = 0 или dM/dt = 0. Рассмотрим закон сохранения массы для открытых систем.

Интегральная форма закона сохранения массы (материальный баланс)

Изменение массы в некотором фиксированном объеме V вызывается разностью прихода и отвода из выделенного объема.

(3.1)

Зачастую, при описании непрерывных процессов, удобнее пользоваться понятием массового расхода G, который является количеством массы, прошедшим за единицу времени. Поделим (3.1) на dt

(3.2)

Если плотность вещества не меняется (среда не сжимаемая), или процесс протекает в стационарных условиях, то материальный баланс упрощается

 (3.3)

В общем случае уравнение материального баланса для каждого компонента при наличии химических реакций в системе будет иметь вид

(3.5)

где r_m,i - масса компонента i, образующаяся в единице объема за единицу времени (источник массы).

15. Уравнение Бернулли для элементарного потока вязкой несжимаемой жидкости.

Рассмотрим установившееся течение идеальной жидкости находящейся под действием одной массовой силы — силы тяжести, и выведем для этого случая основное уравнение, связывающее между собой давление в жидкости  и скорость ее движения.

Возьмем одну из элементарных струек, составляющих поток, выделим сечениями 1 и 2 участок этой струйки произвольной длины (рис.5.3). Пусть площадь первого сечения равна dS₁, скорость в нем V₁ , давление P₁, а высота от произвольной  плоскости сравнения  Z₁. Во втором сечении dS₂, V₂ , P₂ и Z₂.

За бесконечно малый отрезок времени dt выделенный участок струйки переместится  в положение 1’ – 2’.

Применим к массе жидкости в объеме участка струйки теорему о кинетической энергии: работа сил, приложенных к телу, равна приращению кинетической энергии этого тела.

На жидкость действуют силы тяжести  и силы давления, нормально к поверхности сечения рассматриваемого участка струйки.

Подсчитаем работу сил давления, сил тяжести и изменение  кинетической энергии участка струйки за время dt. Эта теорема выглядит следующим образом.

(m )/2 - (m )/2 = G*h= G*(Z₁-Z₂)

Работа силы давления в первом сечении положительна, так как направление силы  совпадает с направлением перемещения, и выражается как произведение силы p₁*dS  на путь V₁dt:

(p₁*dS₁)*(V₁dt)

Работа силы давления во втором сечении имеет знак минус, так как направление силы прямо противоположно направлению перемещения, и определяется выражением

- (p₂*dS₂) *(V₂dt).

Силы давления, действующие по боковой поверхности отрезка струйки, работы не производят, так как они нормальны к этой поверхности и к перемещениям.

Работа сил давления равна

dA = (p₁*dS₁) *( V₁dt)— (p₂*dS₂) *(V₂dt).                   (5.7)

Работа силы тяжести равна изменению потенциальной энергии положения участка струйки, поэтому надо из потенциальной энергии жидкости в объеме 1 - 2 вычесть потенциальную энергию жидкости в объеме 1’- 2’. При этом энергия промежуточного объема 1’- 2 сократится, и останется лишь разность энергии элементов 1- 1’, 2- 2’.

ПО уравнению расходов (закон сплошности среды) (5.6’)  объемы  и силы тяжести заштрихованных элементов 1 -1’ и 2 - 2’ равны между собой:

dG = ρ*g* V₁*dS₁*dt = ρ*g* V₂*dS₂*dt  .           (5.8)

Тогда работа силы тяжести выразится как произведение разности  высот на силу тяжести dG:

(z₁-z₂) *dG.                  (5.9)

Чтобы подсчитать приращение кинетической энергии рассматриваемого участка струйки за время dt, необходимо из кинетической энергии объема 1’- 2’ вычесть кинетическую энергию объема 1 - 2. При вычитании кинетическая энергия промежуточного объема 1’ - 2 сократится, и останется лишь разность кинетических энергий элементов 2 — 2’ и 1 -  1’, масса каждого из которых равна dG/g.

Таким образом, приращение кинетической энергии на участке струйки  равно

(v²₂- v²₁)* dG/(2g),                       (5.10)

Сложив работу сил давления (см. уравнение 5.7) с работой силы тяжести (5.9) и приравняв эту сумму приращению кинетической энергии (5.10), получим исходное уравнение для трех видов уравнения Бернулли.

(p₁*dS₁) *( v₁dt)— (p₂*dS₂) *( v₂dt) +(z₁-z₂) *dG=(v²₂- v²₁)* dG/(2g).            (5.11).                  

Разделим это уравнение на dG (изменение силы тяжести элементарной струйки за время dt)  (см. формулу (5.8) , и произведя сокращения на

dG = ρ*g* v₁*dS₁*dt = ρ*g* v₂*dS₂*dt  , получим

Сгруппируем члены, относящиеся к первому сечению, в левой части уравнения, а члены, относящиеся ко второму сечению, в правой:

                        (5.12)

где z  — геометрическая высота, или геометрический напор;

Р/ρg – пьезометрическая высота или пьезометрический напор;

v²/2g — скоростная высота или скоростной напор.

Полученное уравнение называется уравнением Бернулли для элементарной струйки идеальной несжимаемой жидкости. Оно было выведено Даниилом Бернулли  в 1738 г.

Это уравнение является первой формой уравнения Бернулли,   оно

  (5.13)