1.4. Формування вмінь розв’язувати задачі з проективної геометрії

Для актуалізації певних знань у свідомості студентів можна запропонувати вправи, які вимагають інтелектуальних зусиль та просторової уяви: «Визначити, які фігури будуть двоїстими наступним:

1) тривершиннику;

2) двом прямим, що перетинаються;

3) трьом точкам, які належать одній прямій, за малим та великим принципами двоїстості».

Розвитку нестандартного мислення сприятимуть завдання, які вимагають творчого оволодіння навчальним матеріалом. Прикладами таких завдань є задачі на побудову з невласними елементами, задачі на застосування теорем проективної геометрії до доведення тверджень евклідової геометрії (наприклад, доведення того факту, що медіани трикутника перетинаються в одній точці), прикладні задачі на знаходження недоступних точок та прямих [10]. Дуже корисно щоб в процесі розв’язування задач студенти запропоновували і в результаті оволоділи різними способами їх розв’язання.

Система цілеспрямовано сконструйованих задач, запитань і завдань є важливою умовою розвитку пізнавальної мотивації у навчальному процесі та ефективним засобом розвитку продуктивного евристичного мислення.

Розв’язуючи геометричні задачі, студенти не тільки активно оволодівають змістом модуля, а й набувають вміння використовувати аналогію, узагальнення, самостійно і творчо мислити. Поряд із завданнями репродуктивного характеру, пов’язаними з пізнавальними труднощами, для подолання яких необхідні нові знання або докладання інтелектуальних зусиль. Такі задачі складають основу проблемного навчання, педагогічними умовами успішності якого є: створення пізнавальних труднощів, відповідних інтелектуальним здібностям студентів; забезпеченість сукупністю знань з предметного змісту проблемної ситуації; формування операційних вмінь розв’язання проблемних задач.

Оскільки курс проективної геометрії традиційно у ВНЗ викладається аналітико-синтетичним способом, то викладачі не звертають особливої уваги на деякі задачі на побудову, які лежать в основі розв'язання решти задач одного типу. Такі задачі, на нашу думку, повинні бути обов'язково виділені в змісті курсу проективної геометрії.

В навчальній роботі можна виділити два види задач: традиційні, аналогічні тим, які багаторазово розв'язувалися одним і тим самим способом і завжди в одній і тій самій послідовності, і задачі другої групи, які доводиться розв'язувати не в традиційних, звичних ситуаціях, а в умовах незвичайних (якими є майже всі задачі на побудову). Розв'язання таких задач багатоваріантно.

Як відомо, в шкільному курсі планіметрії в теорії конструктивної геометрії виділяють найпростіші побудови, які лежать в основі основних побудов, які, в свою чергу, лежать в основі розв'язування багатьох інших задач. По аналогії до цього пропонуємо в курсі проективної геометрії також виділити найпростіші та основні побудови (задачі на побудову)

До найпростіших побудов ми відносимо такі.

Побудувати:

1. промінь АВ, якщо побудовані точки А і В;

2. відрізок АВ, якщо побудовані точки А, В;

3. пряму АВ, якщо побудовані точки А, В;

4. коло, якщо побудовані його центр і відрізок, що рівний радіусу;

5. точку перетину двох побудованих (зокрема паралельних) прямих;

6. невласну точку, якщо побудована пряма, що їй належить, або

пучок паралельних прямих;

7. точку перетину побудованої прямої і кола, якщотакі існують;

8. точку перетину двох побудованих кіл, якщо такі точки існують;

9. точку, яка належить побудованій фігурі;

10. точку, яка не належить побудованій фігурі, якщо вона не співпадає

з усім простором;

11. невласну пряму, якщо побудована площина, яка їй належить, або

пучок паралельних площин.

Більшість задач проективної геометрії є задачі на побудову, яка виконується за допомогою однієї лінійки. В основному задачі на побудову, які містять елементи форм першого ступеня розв'язуються за допомогою таких понять та тверджень, як конфігурація Дезарга (пряма та обернена теореми), повний чотиривершинник та його властивості, четвірка гармонічних точок, гомологія.

Задачі на побудову, які містять форми другого ступеня розв'язуються за допомогою таких понять та тверджень, як відповідні елементи в проективній відповідності, теореми Паскаля та Бріаншона, полюс і поляра.

Тому до основних задач ми відносимо:

1. побудова конфігураціїДезарга;

2. побудова повного чотиривершинника;

3. побудова гармонічної четвіркиточок;

4. поділ відрізка навпіл;

5. побудова прямої, що проходить через задану точку паралельно до

заданого відрізка, якщо вказано його середину;

6. побудова відповідних елементів першого ступеня в проективній

відповідності;

7. побудова відповідних елементів в інволюційній відповідності для

рядів із спільним носієм;

8. побудова точки многокутника, вписаного (описаного) в криву

другого порядку (побудова точки, що належать до кривої другого

порядку);

9. побудова поляри для заданоїточки (полюса для заданої поляри);

побудова відповідних елементів в гомології.

Зауважимо, що до основних задач можна було б віднести ще таку «Побудувати пряму, що проходить через задану точку, паралельно до двох заданих паралельних прямих», оскільки її розв'язання можна алгоритмізувати, чітко виділивши кроки її розв'язання, і вона часто використовується під час розв'язування інших задач. Але ця задача може бути розв'язана трьома способами (за допомогою конфігурації Дезарга, повного чотиривершинника та поняття гомології), саме з цієї причини вона не ввійшла до виділених нами основних задач на побудову.

Оскільки в задачах проективної геометрії під час побудови часто будуються деякі прямі чи точки довільно, то деякі із виділених основних задач на побудову можуть мати декілька варіантів послідовності виконання побудови (наприклад, такою є побудова повного чотиривершинника), а деякі лише один (побудова відповідних елементів форм першого ступеня: двох прямолінійних рядів точок, двох пучків). Тому для формування вмінь розв'язувати задачі варто студентам запропонувати одну певну послідовність (алгоритм) розв'язування таких задач, а на самостійну роботу винести завдання по отриманню інших способів розв'язання (якщо вони існують).

Розглянемо, наприклад розв'язання таких основних задач: повного чотиривершинника, побудова відповідних елементів першого ступеня в проективній відповідності.

І. Побудова довільного повного чотиривершинника.

Задача. Побудувати довільний повний чотиривершинник.

Побудова.

1. На одній прямій обрати довільно дві точки, які вважати подвійними (діагональними).

2. Провести через обрані точки по дві прямі, щоб вони попарно перетиналися.

3. В результаті такого перетину отримується чотирикутник, провівши його діагоналі до перетину з обраною прямою, отримуємо повний чотиривершинник, у якого обрана пряма є діагональною, проведені діагоналі чотирикутника - його сторонами, що проходять через третю діагональну точку (точка їх перетину) (на рис. SPQR - повний чотиривершинник, АВ − діагональна пряма).

Доведення. Отримана фігура складається з чотирьох точок загального положення, шести прямих, що з'єднують ці точки попарно, отже, за означенням, побудована фігура - повний чотиривершинник

Дослідження. Задача завжди має розв'язок, оскільки виконуються всі кроки побудови. Навіть, якщо вп. 3 проведені діагоналі виявляться такими, що одна з них буде паралельною до діагональної прямої, то це буде означати, що вони перетинаються у нескінченно віддаленій точці, а точка перетину іншої діагоналі з діагональною прямою є серединою відрізка, який утворюють подвійні точки.

II. Побудова повного чотиривершинника, коли задано три точки на одній прямій.

Задача. Побудувати повний чотиривершинник, якщо відомо три точки, що належать до однієї прямої.

Аналіз. Оскільки точки належать до однієї прямої, то вони не можуть бути вершинами шуканого повного чотиривершинника, тому вважаємо задану пряму-діагональною, тоді дві із заданих точок є подвійними (діагональними), а третя − це точка перетину сторони повного чотиривершинника, що проходить через третю діагональну точку з діагональною прямою.

Побудова.

1. Через одну із подвійнихточок проводимо дві довільні прямі а і а'.

2. Через неподвійну точку проводимо довільну пряму до перетину із

а і а', знаходимо точки їх перетину.

3. Через знайдені точки перетину і третю задану точку проводимо дві

прямі до перетину із прямими а і а'.

4. В результаті одержується повний чотиривершинник, в якому

потрібно провести пряму, що з'єднує дві його вершини, відмінні від отриманих в другому кроці (рис. 1).

Доведення. Отримана фігура складається з чотирьох точок загального положення, шести прямих, що з'єднують ці точки попарно, протилежні сторони перетинаються в заданих точках, що належать до діагональної прямої (за побудовою), отже за означенням побудована фігура - повний чотиривершинник.

Дослідження. Задача завжди має розв'язок.

Задача. Побудувати відповідні елементи двох проективних форм першого ступеня.

Особливістю розв'язання цієї задачі полягає в можливості використання принципу двоїстості. Розв'язання задачі варто оформити у вигляді таблиці, яка складається з двох колонок (Таблиця 1). Так побудова відповідних елементів двох прямолінійних рядів точок заповнюються в аудиторії (ліва колонка таблиці), виводиться алгоритм розв'язання такої задачі, а праву колонку (побудова відповідних елементів двох проективних пучків) студенти заповнюють самостійно, використовуючи принцип двоїстості, із перевіркою на практичних заняттях.

Задачі на побудову лежать в основі розв'язування напівалгоритмічних та евристичних задач на побудову. До напівалгоритмічних задач можна віднести задачі з недосяжними елементами.

Під час розв'язування задач з недосяжними (недоступними) елементами (такими є точки перетину паралельних прямих, або точки перетину прямих, які перетинаються за межами креслення) найчастіше використовуються пряма та обернена теореми Дезарга, поняття та властивості повного чотиривершинника, поняття гомології.

Задачі з недосяжними елементами можна поділити на три типи.

1. На побудовуточки перетину двох прямих, без побудови однієї з них.

Дано пряма п і точки А і В, що не лежать на ній. Користуючись лише лінійкою, побудувати точку перетину прямої п з АВ, не будуючи прямої АВ.

Або: Користуючись лише лінійкою, побудувати точку перетину даної прямої а з недосяжною прямою, що визначається точками А і В.

Або: Провести пряму через доступну точку і і точку перетину двох прямих а і АВ, одна з яких (АВ) недоступна.

2. На побудову прямої, що проходить через задану та недосяжну точки.

На площині задані прямі а і b, які перетинаються за межами рисунка, і точка С, яка не належить цим прямим. За допомогою лише лінійки побудуват пряму, яка проходить через точку С і недоступну точку перетину прямих a i b.

Або: Вершина D чотирикутника ABCD − недоступна точка. Знайти точку перетину діагоналей цього чотирикутника.

3. На побудову прямої, що проходить через дві недосяжні точки.

Дано паралелограм ABCD своїми сторонами, дві його вершини А і С − недоступні точки. Побудуйте пряму АС.

Або: На кресленні обмежених розмірів задано дві пари прямих: р і q, що перетинаються в недоступній точці А, u і v, що перетинаються в недоступній

точці В. Побудувати доступну частину прямої АВ.

Розглянемо, наприклад, розв'язування задачі з недосяжними елементами

другого типу за допомогою десятої основної задачі на побудову.

Задача. Побудувати пряму, що проходить через задану точку С, паралельно до двох заданих паралельних прямих a i b.

Аналіз. Якщо одну із заданих прямих вважати віссю гомології, другу - пряму, до якої шукається гомологічна, що проходить через задану точку, то обравши довільно центр гомології та провівши через неї і задану точку пряму до перетину із гомологічною прямою, отримуємо дві відповідні точки. Гомологія є заданою. Задача зводиться до побудови другої пари відповідних точок, що належать до заданої та шуканої гомологічних прямих.

Побудова.

1. Задати гомологію, вважаючи одну із заданих прямих і шукану гомологічними, другу задану пряму - віссю гомології, довільну точку - центр гомологіїта дві пари гомологічних точок: на заданій прямій і задана точка.

2. Для довільної точки, що не належить до заданих прямих побудувати їй гомологічну, за допомогоюзаданої пари гомологічнихточок.

3. Для довільної точки гомологічної прямої побудуємо гомологічну з нею точку за допомогою пари гомологічних точок знайдених в попередньому кроці.

4. Через знайдену і задану точку провести пряму.

На рис. 2 заданими гомологічними є точки С і С', обраними: А і А', В і В'.

Доведення. Отримали гомологію, в якій задані гомологічні прямі перетинаються у нескінченно віддаленій точці, оскільки задана пряма є паралельною до вісі гомології.

Дослідження. Задача завжди має розв'язок, причому єдиний.

Якщо використовувати такий поділ задач на побудову: виділити найпростіші та основні задачі курсу , то це сприяє кращому запам'ятовуванню теоретичних основ курсу і дає змогу сформувати вміння розв'язувати ці задачі та решти задач, які в основі мають виділені основні задачі. Самостійна робота по знаходженню різних способів розв'язання однієї і тієї ж задачі сприяє розвитку у студентів творчого мислення. Отже, в змісті курсу обов'язково варто виділити в окрему тему зазначені вище задачі разом із демонстрацією їх застосування.

Вчителі геометрії на своїх уроках широко використовують наочні зображення фігур, які відіграють певну роль в педагогічному процесі. Ці наочні зображення не лише полегшують розуміння і засвоєння учнями міркувань та висновків вчителя, що пояснює теорему чи розв´язує задачу, але, що особливо важливо, вони викликають в учнів просторове уявлення відношень, що вивчаються, і надають останнім конкретну геометричну форму. У такій формі матеріал засвоюється краще і з більшою користю. З другого боку правильне зображення допомагає знайти правильне розв´язання задачі, і навпаки, неправильно виконаний рисунок може призвести до помилкового розв´язання. Особливо ж велике значення зображення просторових фігур у вихованні просторового мислення. Оскільки, розглянуті вище питання тісно пов’язані з властивостями центрального та паралельного проектування, то саме вчитель математики має можливість надати знання своїм учням (майбутнім художникам, інженерам, математикам, фізикам, фотографам, геологам, географам та ін.) основ правил побудови та використання зображень – теорію проективних та афінних перетворень. Але це буде можливим за умови, що студент педагогічного ВНЗ напряму підготовки «Математика» сам отримує такі знання.