1.5. Можливості використання елементів проективної геометрії в школі

Уміння розпізнавати природу тих чи інших розглянутих властивостей фігур сприяє успішному вирішенню найрізноманітніших геометричних задач.

Якщо задача метрична, то потрібно ввести позначення довжин відрізків і величин кутів, вибрати відповідний трикутник (або іншу фігуру) і скласти зв'язуючі її елементи тригонометричні співвідношення і т.д. Афінну задачу простіше розглянути на деякій паралельної проекції вихідного креслення. А ось задачу на проективні властивості фігур доцільно вирішувати засобами проективної геометрії, що дозволяють швидше досягти бажаної мети.

За допомогою теорем проективної геометрії вдається легко впоратися і з іншими задачами, які не є чисто проектними, проте мають «близьке походження».

Крім того, властивості центрального проектування мають важливе практичне значення. Зокрема, вони знайшли широке застосування в живописі. Знання цих властивостей допомагає зрозуміти геометричні основи законів зображення предметів в лінійній перспективі, якими вже кілька століть користуються художники, які пишуть в реалістичній манері.

Наприклад, на картині в лінійній перспективі зображена залізниця. Нам здається, що рейки сходяться в деякій точці, яка лежить на горизонті. Розмір шпалпри цьому так, як і видима відстань між ними зменшується, і виникає питання: де слід зобразити третю шпалу?

Відповідь на це питання дає теорія лінійної перспективи, в основі якої лежить застосувань властивостей центрального проектування. Її точні закони розробляли архітектори і митці епохи Відродження: Ф. Брунеллескі, Л.Б. Альберті, Леонардо да Винчі, А. Дюрер та ін.. Вже в той час встановилася традиція розглядати картину, як своєрідне «вікно в світ».

Проектні властивості фігур досить складні і тому важко сприймаються у навчальному процесі, але деякі з них можуть бути розглянуті на факультативі.

Нижче пропонуються розробки декількох таких факультативних занять. Їх головна мета – розширити кругозір школярів, познайомивши їх з елементами проективної геометрії.

Заняття розраховані на учнів, які на високому рівні освоїли курс планіметрії . Вони містять завдання, які будуть цікаві учням, а також торкнуться питання проективної геометрії, тісно пов'язаної з живописом і гармонією (вченням про музику). Відзначимо, що зі змісту матеріалу були виключені ті спеціальні терміни і факти, без яких можна було обійтися при досягненні поставленої мети.

Заняття 1. Гармонія відрізків

На рис. точка C відрізка AB ділить його у відношенні 3: 1, тобто . Інакше кажучи, точка C знаходиться в три рази ближче до B, ніж до A. На прямій AB існує ще одна точка (назвемо її D), яка володіє такою ж властивістю. Кажуть, що точка D ділить відрізок AB в тому ж відношенні, але тільки зовнішнім чином:

Рис.1

Четвірку точок A, B, C, D називатимемо гармонійними. Відзначимо, що важливий порядок перерахування точок в четвірці. У ньому міститься інформація про те, що точки C і D ділять відрізок AB в однаковому відношенні. Кажуть також, що перша пара елементів (A, B) розділяє другу – (C, D).

Очевидно, що існує нескінченно багато гармонійних четвірок точок. Наприклад, на рис.

Рис.2

Для кожної такої четвірки характерно, що

Вірно і зворотне: якщо точки A, B, C, D задовольняють такому співвідношенню, то вони гармонійно розташовані.

Коментар. Тут і далі ми не вводимо визначення складного відношення чотирьох точок з його правилом знаків. Будемо говорити лише про поділ відрізка в однаковому відношенні, тобто «Гармонії відрізків».

Походження назви безпосередньо пов'язано з музичної гармонією. Як відомо, за часів Піфагора в «математику» включили чотири розділи: арифметику, геометрію, астрономію і гармонію (від грец. – злагоджений, співрозмірний). Для чисел a і b стародавні греки вводили не тільки середнє арифметичне і середнє геометричне , а й середнє гармонійне . Звідси походить назва гармонійного ряду – числового ряду кожен член якого є середнє гармонійне сусідніх членів.

В гармонії, зокрема, вивчався зв'язок між розмірами струн і висотою їх звучання. Піфагор знав, що довжини струн, що дають ноти мажорного тризвуку (до, мі, соль), пов'язані з числами 1, і . Тут — середнє гармонічне чисел 1 і .

Так якщо відкриту гітарну струну (AD = 60 см) налаштувати на до, затиснуті струни (CD = 48 см, BD = 40 см) дадуть відповідно мі і соль. Легко бачити, що

тобто четвірка точок A, B, C, D - гармонійна.

Р ис.3

Гармонійні четвірки точок часто зустрічаються в геометрії кіл.

Наприклад, для двох кіл різного радіусу з центрами і внутрішній і зовнішній центри гомотетії (точки H і S відповідно) ділять відрізок в однаковому відношенні, тобто

Це рівність випливає з подібності зображених на малюнку прямокутних трикутників.

Рис.4

Якщо ж кола мають рівні радіуси , то зовнішній центр S гомотетії як би спрямований у нескінченність. Домовимося і в цьому випадку вважати четвірку точок , , H і S гармонійною.

Заняття 2. Перспектива

Р озглянемо малюнок 

Рис.5

Нехай зображені на ньому точки A, B, C, D утворюють гармонічну четвірку. Їх видно з точки S начебто крізь точки A₁, B₁, C₁, D₁ іншої прямої

Таке розташування точок називають перспективним (від лат. perspicere − дивитися крізь), а точку S − центром перспективи. У цьому випадку говорять, що ряд точок A, B, C, D проектується з центру S в ряд точок A₁, B₁, C₁, D₁, і навпаки, другий ряд точок проектується в перший.

Виявляється крізь гармонійну четвірку точок однієї прямої можна побачити тільки гармонічну четвірку точок іншої прямої.

Твердження1.

Якщо , то (рис.5)

Доведення. Опустимо з центру перспективи на пряму АD перпендикуляр SН і розглянемо трикутники із спільною вершиною S і основами, що лежать на прямій АD (рис. 5). Оскільки трикутники мають спільну висоту, їх основи відносяться як площі фігур.

Для трикутників АSС і ВSС маємо:

звідки

Для трикутників BSD і ASD маємо:

Перемноживши почленно ліві і праві частини двухостанніх рівностей, отримаємо:

Аналогічно, опустивши перпендикуляр SН₁ на пряму А₁D₁ і розглянувши відповідні трикутники, можна довести, що

За умовою , отже і

Зауваження 1. При проектуванні гармонічної четвірки точок прямі а, b, с, d виявились зв’язані залежністю . Таку четвірку прямих будемо називати гармонічною.

Отже, прямі, які проходять через центр проектування і четвірку гармонійно розташованих точок, утворюють гармонійну четвірку. Вірним буде і зворотнє: якщо прямі, які проходять через центр проектування, розміщені гармонійно, то четвірка точок, що утворюється при їх перетині деякою прямою, також буде гармонійною.

Зауваження 2. Якщо четвірка точок A, B, C, D однієї прямої не є гармонійною, а A₁, B₁, C₁, D₁ − перспективна з нею четвірка точок, то і в цьому випадку

Тобто, значення виразу зберігається при центральному проектуванні.

Заняття 3. Теорема про три кола

Отже, ми вияснили, що таке гармонійне розміщення чотирьох точок прямої, і встановили, що воно зберігається при перспективі. Справедливо наступне твердження.

Твердження 2. Якщо дві гармонійні четвірки точок A₁, B₁, C₁, D і A₂, B₂, C₂, D мають спільну точку D, то для них знайдеться загальний центр S перспективи.

Доведення. Нехай прямі A₁A₂ і B₁B₂ перетинаються в деякій точці. Покажемо, що вона і є шуканий центр S перспективи (рис. 6).

Рис.6

Дійсно, в протилежному випадку пряма SC₂ перетинала б пряму A₁D не в точці C₁, а в якійсь іншій точці Х. Тоді, згідно твердження 1, точка Х ділила б відрізок A₁B₁ в тому ж відношені, що й точка D, а отже, і точка C₁, що неможливо. Отже, точки Х і C₁ співпадають, а S – шуканий центр перспективи.

Зауваження. Якщо б прямі A₁A₂ і B₁B₂ були параллельні, то і пряма С₁С₂ була б їм параллельна. А це означало б, що центр S перспективи нескінченно віддалений. Такий випадок ми вважаємо вирожденним і не розглядаємо.

На основі доведеного твердження можна розвязати, наприклад, задачу про три кола.

Задача 1. Доведіть, що зовнішні центри гомотетій трьох кіл лежать на одній прямій.

Доведення. Нехай дано три кола з центрами , і . Позначимо зовнішні центри гомотетій буквами S₁₂, S₂₃, S₁₃, а внутрішні центри – буквами H₁₂, H₂₃, H₁₃ (рис.7)

Четвірки точок О₂, О₁, H₁₂, S₁₂ і О₂, О₃, H₂₃, S₂₃ є гармонійними і мають спільну точку О₂, значить для них існує центр перспективи (твердження 2). Отже, прямі H₁₂H₂₃ , О₁О₃, S ₁₂S ₂₃ повинні перетинатися в одній точці і це точка S ₁₃. Отже, зовнішні центри S₁₂, S₂₃ і S₁₃ гомотетій розташовані на одній прямій.

ВИСНОВКИ

У процесі виконання дипломної роботи нами зроблено наступне:

1. Висвітлено історію розвитку проективної геометрії;

2. Розроблено змістово-методичне наповнення курсу «Проективна геометрія»

3. Методично обґрунтовано основні форми, методи та засоби лекційного навчання проектвної геометрії

4. Досліджено необхідність викладання курсу «Проективна геометрія» для студентів фізико-математичних спеціальностей;

ДОДАТКИ