30 Метод фазовой плоскости

Метод изображения процессов с помощью фазовых траекторий в принципе может использоваться для систем, описываемых дифференциальным уравнением любого порядка. Однако эти траектории должны рассматриваться в n-мерном фазовом пространстве, где n – порядок дифференциального уравнения. Ввиду серьезных трудностей, возникающих при рассмотрении n-мерного пространства при n > 3, метод фазовых траекторий находит применение только для систем второго порядка, где пространство превращается в плоскость, и в некоторых случаях для систем третьего порядка.

Рассмотрим применение этого метода для систем второго порядка, когда фазовые траектории располагаются на фазовой плоскости.

Фазовая плоскость это координатная плоскость, где по оси абсцисс откладывается сама переменная, для которой исследуется переходный процесс, а по оси ординат – скорость изменения (первая производная) этой переменной (иногда другая переменная, характеризующая процесс в системе во втором порядке).

Н

Рис. 9.1. Фазовая плоскость

а рис. 9.1 изображена фазовая плоскость. По оси абсцисс откладывается исследуемая величина х, а по оси ординат – ее производная . Состояние системы второго порядка полностью определяется заданием этих двух координат. Каждому состоянию системы соответствует определенная точка на фазовой плоскости, например точка М на рис. 9.1. Эта точка называется изображающей точкой.

Если в исследуемой системе протекает некоторый процесс, то изображающая точка будет двигаться по плоскости, прочерчивая кривую, которая называется фазовой траекторией. Направление движения изображающей точки принято обозначать на траектории стрелками.

Основные свойства фазовой траектории.

1. В верхней полуплоскости направление движения изображающей точки может быть только слева направо. Это вытекает из того, что в верхней полуплоскости  > 0 и величина х должна возрастать. В нижней полуплоскости изображающая точка может двигаться только справа налево.

2. Фазовая траектория может пересекать ось абсцисс только под прямым углом. Это вытекает из того, что в точке пересечения производная у =   = 0, и, следовательно, координата х должна иметь экстремальное значение.

3. Замкнутым фазовым траекториям соответствуют периодические процессы.

Рассмотрим изображение типичных процессов на фазовой плоскости.

1. Затухающий колебательный процесс.

2. Расходящийся колебательный процесс.

3. Апериодический затухающий процесс

4. Апериодический расходящийся процесс

5. Периодический колебательный процесс

6. Устойчивые автоколебания.

7. Неустойчивые автоколебания

31 Методы стабилизации нелинейных систем

Принцип стабилизации непрерывного неустойчивого объекта с помощью комбинированного ПД - релейного регулятора состоит в том, что регулятор вовремя переключает управляющую величину так, что при еще небольшом изменении управляемой, выходной величины объекта, стремящегося ввиду неустойчивости пойти "вразнос", управляющая величина меняет знак, заставляя управляемую величину возвращаться обратно, и так периодически. В результате, управляемая величина поддерживается вблизи задающей, что и означает слежение и обеспечение динамической устойчивости объекта. Неустойчивость объекта компенсируется устойчивым автоколебательным контуром.