Свойства непрерывных функций

1. Сумма двух непрерывных функций в точке является функцией непрерывной в этой точке.

2. Произведение двух непрерывных функций в точке является функцией непрерывной в этой точке.

3. Частное двух непрерывных функций в точке является функцией непрерывной в этой точке.

Точки разрыва функции и их классификация

Если в какой-либо точке x₀ функция y=f(x) не является непрерывной, т.е. , то точка х=х_0,называется точкой разрыва этой функции, а функция y=f(x) – разрывной в этой точке.

Если при пределы , то число А₁ называется левосторонним односторонним пределом.

Если при пределы , то число А₂ называется правосторонним односторонним пределом.

Точка x₀ называется точкой разрыва I рода функции f(x), если в этой точке функция имеет конечные односторонние пределы и .

При этом возможны случаи:

1. Если А₁ = А₂, то точка х₀ называется точкой устранимого разрыва.

2. Если А₁ А₂, то величина А= А₁ - А₂ называется скачком функции f(x) в точке х₀.

Точка x₀ называется точкой разрыва II рода функции f(x), если в этой точке хотя бы одного конечного одностороннего предела.

Механический, геометрический и экономический смысл производной.

Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращении аргумента стремится к 0.

Механический смысл производной:

ускорение тела есть производная скорости в определенное время

Геометрический смысл производной:

Проведем касательную к графику функции y=f(x). Смотри график.

Тангенс угла наклона касательной равен:

Уравнение касательной: y = f(x₀)+f ^/ (x₀) (x-x₀)

Экономический смысл производной:

Пусть непрерывная функция описывает зависимость издержек производства (суммарных затрат) y от объема x выпускаемой продукции. Среднее приращение издержек производства равно .

Аналогично, можно рассмотреть зависимость y=f(x), где y – объем производимой продукции за единицу времени, x – численность работников фирмы.

Многие экономические показатели вычисляются как производные соответствующих экономических функций. К ним можно отнести предельные издержки производства, предельную производительность труда, предельный спрос, предельное предложение, предельную выручку.

Функция называется дифференцируемой в некоторой точке (области), если она имеет в этой точке (области) конечную производную, т.е. если существует конечный предел.

Экстремумы функции. Необходимое и достаточное условие экстремума.

Точка x₀ является критической точкой, если производная в этой точке равна 0 или не существует, т.е. f ^/(x₀)=0.

Точка x₀ называется точкой локального (местного) максимума непрерывной функции y=f(x), если значение функции в точке x₀ > x больше, чем ее значение во всех точках некоторого интервала, т.е. f(x₀) > f(x).

Если при переходе слева направо через точку x₀ производная меняет знак с «+» на «-», то точка является точкой максимума.

Точка x₀ называется точкой локального (местного) минимума непрерывной функции y=f(x), если значение функции в точке x₀ > x больше, чем ее значение во всех точках некоторого интервала, т.е. f(x₀) < f(x).

Если при переходе слева направо через точку x₀ производная меняет знак с «-» на «+», то точка является точкой минимума.