Матрицы. Умножение матриц.

Матрица – это прямоугольная таблица каких-либо элементов a _{i j,}

где i – число строк, j – число столбцов.

У каждого числа свое местоположение, и переставлять их нельзя!

Матрицы обозначают прописными латинскими буквами A, B, C…

Когда говорят о размерах матрицы, то сначала указывают количество строк, а только потом – количество столбцов. Например, матрица размером 2×2, 2×3, 1×4

А= - матрица состоит из 9 элементов, 3 строк и 3 столбцов

– единичная матрица – это матрица, сотоящая из 0 и 1.

нулевая матрица – это матрица, состоящая из 0.

Если в матрице один столбец  или одна строка, то такие матрицы называют векторами: или

Если количество строк и столбцов матрицы совпадает, то матрицу называют квадратной (3×3, 2×2).

Действия с матрицами.

Умножение матриц.

Чтобы матрицу  A можно было умножить на матрицу B нужно, чтобы число столбцов матрицы A равнялось числу строк матрицы B.

Пример 1: 

A•B = • =

А вот если такие матрицы переставить местами, то, в данном случае, умножение уже невозможно!

Пример 2: 

A•B = • =

При умножении переставлять матрицы нельзя! Т.е. A•B ≠ B•A

Пример 3: 

A•B =

Пример 4: 

A•B =

Определитель матрицы

Определитель существует только у квадратных матриц.

Определитель квадратной матрицы   будем обозначать   или Δ А.

В литературе вместо термина "определитель" используется также термин "детерминант", имеющий тот же самый смысл. От слова "детерминант" и появилось обозначение det  . Определение 1. Определителем квадратной матрицы  A = второго порядка называется число ΔА= a_11• a₂₂ – a_21• a₁₂

Определение 2. Определителем квадратной матрицы  A = третьего порядка называется число ΔА=(a_11• a_22• а₃₃+ a_13• a_21• а₃₂ +a_31• a_12• а₂₃) - (a_13• a_22• а₃₁+ a_11• a_23• а₃₂ +a_21• a_12• а₃₃)

Определение 3. Определителем квадратной матрицы четвертого порядка называется число

Свойства определителя матрицы.

1. При транспонировании матрицы определитель не меняется, то есть ΔA^t = ΔA

2. Определитель произведения квадратных матриц равен произведению определителей сомножителей, то есть ΔA•ΔB = Δ(A•B)

3. Если в матрице A поменять местами две строки или столбца, то ее определитель сменит знак.

4. Если матрица A имеет две одинаковые строки, то ее определитель равен нулю.

5. Если строку матрицы умножить на число  , то ее определитель умножится на это число.

6. Если матрица содержит нулевую строку, то ее определитель равен нулю.

7. Если одна из строк матрицы равна другой, умноженной на число (строки пропорциональны), то определитель матрицы равен нулю.

8. Если к одной из строк матрицы добавить другую, умноженную на число, то определитель матрицы не изменится.

9. Если одна из строк матрицы является линейной комбинацией других ее строк, то определитель матрицы равен нулю.

Пусть дана система уравнений:

Решение:

1. Составить матрицу

2. Найдем определители

Определители:

3. Вычислим решения уравнения:

Пример:

Определители:

Решение систем уравнений методом Гаусса

Метод Гаусса -это метод последовательного исключения неизвестных.

Система линейных уравнений может:

1) Иметь единственное решение.

2) Иметь бесконечно много решений.

3) Не иметь решений (быть несовместной).