3.1 Алгебраические критерии устойчивости.

Первый алгебраический критерий устойчивости, который применим для систем 3-го порядка, был сформулирован русским ученым И. А. Вышнеградским в 1876 г.:

для устойчивости линейной системы с характеристическим уравнением

необходимо выполнение двух условий:

1. все коэффициенты характеристического уравнения должны быть положительными;

2. произведение средних коэффициентов должно быть больше произведения крайних

В коэффициенты уравнения входят лишь значения параметров системы, поэтому устойчивость последней определяется только параметрами и не зависит от ее состояния.

Для определения устойчивости систем любого порядка применяют критерий Гурвица и критерий Рауса. Критерий Гурвица более прост, поэтому его используют чаще. Он формулируется следующим образом:

система с характеристическим уравнением

;

будет устойчивой, если определитель Гурвица и все его диагональные миноры положительны:

При составлении определителя Гурвица вначале по диагонали располагают коэффициенты, начиная с до а₀:

(8)

Затем определитель заполняют по столбцам: выше диагональных коэффициен­тов записывают коэффициенты с убывающими индексами, а ниже — с возрастающими. При достижении нулевого или n-го индекса далее ставятся нули.

Каждый диагональный минор определителя Гурвица получают из предыдущего минора вычеркиванием нижней строки и правого столбца. Минор получают из определителя Гурвица по общему правилу, т. е. путем вычеркивания из нижней строки и правого столбца. Низший диаго­нальный минор Гурвица .

В качестве примера применим критерий Гурвица для определения устойчи­вости системи с характеристическим уравнением

р⁴₊ 16р³ + 32р² +10р+5=0.

Составим определитель Гурвица и его диагональные миноры:

Отсюда видно, что определитель Гурвица и его диагональные миноры положительны. Следовательно, исследуемая система устойчива.

Достоинством алгебраических критериев является сравнительная простота применения, а недостатком — то, что они не позволяют оценить влияние на устойчивость системы параметров отдельных ее элементов. Этого недостатка лишен графоаналитический критерий А. В. Михайлова.

3.2 Графоаналитический критерий Михайлова.

Представим левую часть уравнения

;

в виде функдии от р

F(р) = .

Сделав замену р = , получим уравнение комплексного вектора

F( ) = ,

конец которого при изменении опишет некоторую кривую — кривую Михайлова. На рис. 6 показаны кривые Михайлова для систем 6-го порядка.

Рассмотрим основные свойства кривой Михайлова. Кривая Михайлова начинается на вещественной оси при = 0 в точке X (0) = а₀; и заканчивается в n-ом квадранте (при ), если отсчет квадрантов вести против часовой стрелки (п — порядок характеристического уравнения). В п-м квадранте кривая Михайлова уходит в бесконечность.

Чтобы построить кривую Михайлова, необходимо в функции F(р) заменить р на и разделить действительную и мнимую частиF( ):

F( ) = .

Далее, задаваясь различными значениями необходимо найти точки

По этим точкам и строят на комплексной плоскости кривую Михайлова.

Как формулируется критерий устойчивости Михайлова? Согласно критерию Михайлова линейная система п-го порядка будет устойчива, если кривая Михайлова охватывает начало координат и последовательно проходит п квад­рантов.

Если кривая Михайлова проходит через начало координат, то система может находиться на границе устойчивости или быть неустойчивой. Первому случаю соответствует такая кривая, что при малейшей ее деформации в окрестности начала координат она будет соответствовать устойчивой или неустойчивой системе, а второму случаю — если деформация кривой не приведет ее к виду, соответствующему устойчивой системе. Следовательно, для оценки устойчивости системы с помощью критерия Михайлова важно установить расположение кри­вой Михайлова относительно начала координат.

Рис.6. Кривые Михайлова для систем шестого порядка: а-устойчивой, б-неустойчивой, в-системы, находящейся на границе устойчивости.

Чтобы с помощью критерия Михайлова оценить влияние изменения параметров элементов системы на ее устойчивость, необходимо построить кривую Михайлова при данном значении интересующего нас параметра. Пусть, например, оказалось, что система находится на границе устойчивости (рис. 6, в), затем следует изменить этот параметр, например, увеличить, и построить кри­вую Михайлова для этого случая (рис. 6, в, кривая 1). Из построения сле­дует, что увеличение интересующего нас параметра в зоне первоначального его значения способствует устойчивости системы.