43. Основні поняття та означення функції багатьох змінних.

Функція багатьох змінних називається функцією , яка залежить від двох ,3,і більше зінних виду T=f(x1.x2.x3.xn)

Найпростішою функцією агатьох змінних є функція виду T=(x.y)Всі значення які набуває змінна х,у утворюють область значень D(f).Всі значення ,які набувають T називається множина значень Е(у).

44 границя та неперервн фцій

Число А називається границею функцій при якщо для будь-якого існує число , таке що в разі виконання нерівностіНаслідок.

Теорема 1.1. Якщо функція має границю при , то така границя тільки одна.

Теорема 1.2. Якщо функція має границю при то вона обмежена в деякому околі точки .

Теорема 1.3. Якщо , і в деякому виколотому околі точки виконується нерівність то .

Наслідок. Якщо у деякому околі точки і існує, то ця границя невід'ємна (недодатна).

45 частині похідні

Диференціальне рівняння з частинними похідними— диференціальне рівняння, що містить невідомі функції декількох змінних і їхні частинні похідні.

Розглянемо функцію двох змінних . Її частинні похідні і є функціями змінних і . Від цих похідних також можна знайти частинні похідні. Їх буде чотири, оскільки від кожної з функцій і можна знайти частинні похідні по та по . Назвемо їх частинними похідними другого порядку і позначатимемо:- функція два рази диференціюється по ; - функція диференціюється по , а потім по ;- функція диференціюється по , а потім по ; - два рази диференціюється по .Похідні другого порядку також можна диференціювати по і . Одержані при цьому похідні називаються частинними похідними третього порядку функції . Їх буде вісім. Аналогічно позначаються похідні більш високих порядків.

46приріст функт баг змін повн диф

Нехай функція z = f(x,y) в деякій області D неперервна і маєчастинні похідні f'x та f . Візьмемо в цій області D довільну точкуМ0 (х0, у0 J та знайдемо відповідне значення функції f(x,y), потім дамо приріст обом аргументам і підрахуємо значення f(x0 + Ax, г/0 + Аг/) функції в точці Мх (х0 + Ах, у0 + Аг/). Отже, ми одержимо приріст функціїAz = f (х0 + Ах,у0 + Ay)- f (х0,у0),який називають повним приростом функції z = f(x,y) в точціПеретворимо Аг шляхом віднімання та додавання величини f(x0,y0+Ay) до виглядуAz = [f(x0+Ax,y0+Ay)-f(x0,y0+Ay)] + [f(x0,y0+Ay)-f(x0,y0).

Частинну (часткова) похідну від функції f(x,y) за аргументом y визначаєють аналогічно. Для частинних похідних від функції f(x,y) використовують такі позначення :f(x(x,y); z(x; ;f(y(x,y); z(y; .Частинні похідні та задають напрями дотичних до поверхні z = f(x,y). Варто пригадати, що звичайна похідна f((x) = задає напрям дотичної до кривої y = f(x).

47 похідна за напрямом

Похідна функції за напрямком і градієнт Нехай - функція, означена в області . Розглянемо деяку точку і деякий напрямок , визначений напрямними косинусами і (тобто і - косинуси кутів, утворених вектором з додатними напрямками осей координат і ). При переміщенні в заданому напрямку (рис.7.10) точки в точку функція одержує приріст , (7.46) який називається приростом функції в заданому напрямку . Якщо є величина переміщення точки , то із прямокутного трикутника одержуємо , , отже, . (7.47) Означення. Похідною функції в заданому напряму називається границя відношення приросту функції в цьому напрямку до величини переміщення при умові, що останнє прямує до нуля,

Градієнт - вектор, своїм напрямком вказує напрямок найшвидшого зростання деякої величини, значення якої змінюється від однієї точки простору до іншої (скалярного поля), а по величині (модулю), рівний швидкості зростання цієї величини в цьому напрямку

48.Формула для наближеного обчислення значень функції f(x0+дельта х,y0+ дельта y)=f(x0.y0)+f’x(x0.y0)* дельта x+ fy’(x0.y0)-дельта у.

49 Экстремумы функцій багатьох змінних.

Для початку розглянемо необхідні умови экстремума функції, також визначимо поняття экстремума. Почнемо з поняття экстремумПокладемо, що є деяка функція із двома зміннимиВизначення: Крапка називається крапкою экстремума (максимуму або мінімуму) функції , якщо є відповідно найбільше або найменше значення функції в деякій околиці крапки .При цьому значення називається екстремальним значенням функції (відповідно до максимальних або мінімальним). Говорять також, що функція має в крапці экстремум (або досягає в крапці экстремума).Помітимо, що в силу визначення крапка экстремума функції лежить усередині області визначення функції, так що функція визначена в якійсь (хоча б і малої) області, що містить цю крапку. Вид поверхонь, що зображують поверхні функцій в околиці крапок экстремума

50. знаходж. Умовного екстремуму ф-ції 2х змінних методом множників Лангража. Знайти екстремум функції   за умовою  . Якщо вдається виразити з останнього рівняння одну змінну через іншу, задача зводиться на знаходження найбільшого і найменшого значень функції однієї змінної. Втім досить часто  однозначно виразити одну змінну через іншу неможливо. В цьому випадку задача розв’язується методом множників Лагранжа, який полягає в наступномуБудується функція Лагранжа, або лагранжиан, , яка досліджується на екстремум.Принцип множників Лагранжа. Умовний екстремум співпадає із звичайним, глобальним, екстремумом функції Лагранжа.   Таким чином, необхідна умова умовного екстремума полягає в одночасній рівності до нуля частинних похідних лагранжіана.