17. Аффинные преобразования на плоскости. Преобразование системы координат: смещение, растяжение-сжатие, поворот
Пусть
на плоскости задана система координат
(СК)
и
точка
принадлежащая некоторому объекту.
Система координат
трансформируется
в СК
путем ряда последовательных смещений
и поворотов относительно своего исходного
состояния. При этом точка
(объект)
остается неподвижной. Необходимо
определить координаты точки
(объекта)
в системе координат
(рис. 1а, рис 1б).
|
|
Рис. 1а |
Рис. 1б |
В общем случае преобразование координат мочки при переходе от системы координат к системе координат определяется системой линейных уравнений:
,
где
Выражение (1) представляет собой аффинное преобразование координат при переходе от системы координат к системе координат .
Обратный переход от СК к СК определяется как
,
Аффинное преобразование (1) удобно представить в матричном виде:
В
компьютерной графике принято использовать
однородные
координаты, которые вводятся следующим
образом. Точке
ставится в соответствие точка
,
а точке
точка
.
Тогда переход от системы координат к системе координат в матричном виде можно записать как
или
,
где
,
,
Обратное преобразование
,
где
Параллельный сдвиг системы координат
,
Или
|
|
Рис. 2а |
Рис. 2б |
Здесь
Обратное преобразование
,
,
где
Растяжение – сжатие системы координат
Или
,
где
Обратное преобразование
,
Или
,
где
,
Поворот системы координат
|
|
Рис. 3а |
Рис. 3б |
Координаты точки в системе координат :
В системе координат :
С учетом (23), получаем:
Или
,
где
Обратное преобразование
Обратное преобразование соответствует повороту системы координат
на
угол
Или
,
где
18. Аффинные преобразования на плоскости. Преобразование объектов: смещение, растяжение-сжатие, поворот
Под преобразованием объектов будем понимать изменение координат точек, принадлежащих этому объекту при изменении его положения в некоторой системе координат.
Пусть
в системе координат
некоторая точка
перемещается
из положения
в положение
(рис.
4а, 4б) или обратно из положения
в положение
.
|
|
Рис. 4а |
Рис. 4б |
Рассмотрим частные случаи аффинных преобразований объектов.
Сдвиг объекта
|
|
Рис. 5 |
Рис. 6 |
Из рис. 5 получаем
,
Или
Здесь
Обратное преобразование
Обратное
преобразование позволяет вычислить
старые координаты объекта
по новым
,
,
где
Растяжение – сжатие объекта
Или
,
где
Обратное преобразование
,
Или
,
где
,
Поворот объекта вокруг центра координат
Координаты точки в системе координат (рис. 6):
Координаты
точки
в системе координат
:
С учетом (46), получаем:
Или
,
где
Обратное преобразование
Обратное преобразование можно получить, если представить себе поворот объекта с координатами на угол .
Или
,
где
Связь преобразований объектов с преобразованиями координат
Преобразование объектов и преобразование систем координат тесно связаны между собой. Движение объектов можно рассматривать как движение в обратном направлении соответствующей системы координат.
Такая относительность движения дает дополнительные возможности для моделирования и визуализации различных объектов.
Запишем соответствующие соотношения, основываясь на сравнении выражений (11) и (35) для сдвига
,
выражений (18) и (42) для растяжения – сжатия
выражений (27) и (51) для поворота
