Метод касательных (метод Ньютона)

Рассмотрение метода одной касательной позволяет предположить, что итерации станут приближаться к корню ещё быстрее, если мы будем выбирать касательную вместо секущей не только на первом, а на каждом шаге. Ясно, что тогда формула итераций будет иметь вид

(1.8)

Этот метод называется методом касательных, или методом Ньютона. Действительно, последовательные приближения метода Ньютона сходятся гораздо быстрее, чем в общем методе итераций (скорость сходимости приближений в котором, напомним, та же, что у геометрической прогрессии со знаменателем при ).

Рис.1.3. Последовательные приближения метода Ньютона (касательных)

Геометрический смысл метода Ньютона состоит в том, что на каждом шаге мы строим касательную к графику точке очередного последовательного приближения x_i, а за следующее приближение x_i+1 берём точку пересечения этой касательной с осью Ox. Тем самым наклон прямой подстраивается на каждом шаге наилучшим образом (ведь кривизну графика, связанную со второй производной, мы не учитываем, и поэтому неизвестно, в какую сторону от касательной отклонится график).

Заметим, что по-другому идею метода Ньютона мы можем описать так: на каждом шаге вместо исходного уравнения F(x)=0 мы решаем приближённое, линеаризованное в точке x_i уравнение:

(1.9)

в котором левая часть – это многочлен Тейлора первого порядка для функции F(x) в точке x_i, то есть линейная функция

(1.10)

Решением линеаризованного уравнения служит следующее приближение x_i+1, в то время как решением исходного точного уравнения F(x) служит искомый корень x*.

Приведем программную реализацию метода касательных или метода Ньютона в пакете MathCAD:

Данная функция имеет следующие входные параметры:

• F – нелинейная функция F(x);

• x₀ – начальное приближение поиск решения уравнения F(x)=0;

• e – точность решения

Метод секущих

В качестве функции берут любую постоянную , знак которой совпадает со знаком производной в окрестности E (и, в частности, на отрезке, соединяющем x₀ и x*). Постоянная не зависит также и от номера шага i. Тогда формула итераций оказывается очень проста:

и на каждой итерации нужно один раз вычислить значение функции F(x).

Выясним смысл этой формулы, а также смысл условия о совпадении знаков и . Рассмотрим прямую, проходящую через точку на графике с угловым коэффициентом . Тогда уравнением этой прямой будет:

.

Найдём точку пересечения этой прямой с осью из уравнения

,

откуда . Следовательно, эта прямая пересекает ось Ox как раз в точке следующего приближения. Тем самым получаем следующую геометрическую интерпретацию последовательных приближений. Начиная с точки x₀, через соответствующие точки графика проводятся секущие с угловым коэффициентом того же знака, что производная . (Заметим, что, во-первых, значение производной вычислять не обязательно, достаточно лишь знать, убывает функция или возрастает; во-вторых, что прямые, проводимые при разных x_i, имеют один и тот же угловой коэффициент k и, следовательно, параллельны друг другу.) В качестве следующего приближения к корню берётся точка пересечения построенной прямой с осью Ox.

Рис. 1.4. Графическая интерпретация метода секущих

На рисунке 1.4 изображены итерации при , в случае . Мы видим, что последовательные точки x_i приближаются к корню, оставаясь всё время с одной стороны от него.

Программная реализация данного метода в пакете MathCAD выглядит так:

Данная функция принимает следующие параметры:

• F – нелинейная функция F(x);

• x₀ – начало интервала на котором производится поиск решения уравнения F(x)=0;

• ₁ – конец интервала на котором производится поиск решения уравнения F(x)=0;

• e – точность решения