Метод простых итераций

Предположим, что уравнение F(x)=0 при помощи некоторых тождественных преобразований приведено к виду F(x)=x.

Заметим, что такое преобразование можно вести разными способами, и при этом будут получаться разные функции в правой части уравнения. Уравнение F(x)=0 эквивалентно уравнению при любой функции . Таким образом, можно взять и при этом выбрать функцию (или постоянную) так, чтобы функция удовлетворяла тем свойствам, которые понадобятся нам для обеспечения нахождения корня уравнения.

Рис. 1.5. Точка x* – решение уравнения

Для нахождения корня уравнения выберем какое-либо начальное приближение x₀ (расположенное, по возможности, близко к корню x*). Далее будем вычислять последующие приближения по формулам

,

то есть, используя каждое вычисленное приближение к корню в качестве аргумента функции в очередном вычислении. Такие вычисления по одной и той же формуле , когда полученное на предыдущем шаге значение используется на последующем шаге, называются итерациями. Итерациями называют часто и сами значения x_i, полученные в этом процессе (то есть, в нашем случае, последовательные приближения к корню).

Заметим тот факт, что x*– корень уравнения , означает, что x* есть абсцисса точки пересечения графика с прямой . Если же при каком-либо x₀ вычислено значение , и взято в качестве нового аргумента функции, то это означает, что через точку графика проводится горизонталь до прямой y=x, а оттуда опускается перпендикуляр на ось Ox. Там и будет находиться новый аргумент x₁.

Ниже приведен программный код метода простых итераций написанный средствами программирования пакета MathCAD.

Данная функция имеет следующие входные параметры:

• F – нелинейная функция F(x);

• x₀ –начальное приближение при поиске решения уравнения F(x)=0;

• N –число итераций процесса;

• e – точность решения.

Задача 1.1

Площадь кругового сегмента, дуга которого α, определяется формулой:

где α – радиальная мера дуги. Необходимо найти сегмент, площадь которого равна 1/5 площади круга, то есть найти угловую меру дуги сегмента.

Площадь круга определяется по формуле:

,

Из условий получаем равенство:

Таким образом, нам необходимо решить нелинейное уравнение:

Чтобы решить данное уравнение методом простых итераций требуется привести его к виду

Поделим последнее уравнение на (поскольку выражение не может равняться нулю), получим

После преобразований получаем выражение для метода простых итераций:

На рисунках 1.6-1.7 приведены графические решения для данной задачи

Рис. 1.6 График функции

Рис. 1.7. График функции для решения методом простых итераций

Сравним результаты, полученные путем решения собственными средствами пакета MathCAD для данной задачи, с решениями, полученными разными методами решения:

Пусть радиус равен единице.
	Функция, корни которой необходимо найти.
	Функция для решения задачи методом простых итераций.
Получим решение стандартными средствами MathCAD:
	.
Вызываем функцию для решения уравнений методом деления отрезка пополам:
	.
А теперь для решения уравнений методом деления хорд:
	.
Используем метод Ньютона (метод касательных):
	.
Вызываем функцию для решения уравнений методом секущих:
	.
Используем метод простых итераций (используем подготовленную ранее функцию F1)
	.

Итак, решение найдено: угловая мера дуги сегмента, для которого площадь составляет пятую часть площади круга, равна 1.3816 радиан или 79.199º.

Задача 1.2

Решить уравнение .

Методы решения нелинейных уравнений написаны таким образом, что одним из параметров процедуры является функция F(x). Таким образом, мы можем передавать в процедуру метода расчета произвольную функцию. В нашем случае это функция:

.

После некоторых преобразований получаем функцию для решения методом простых итераций:

.

Графики этих функций приведены на рисунках 1.8 и 1.9:

Рис. 1.8. График функции

Рис. 1.9. График функции для решения методом простых итераций

Приведем сравнение для решения данного уравнения разными методами и внутренними средствами пакета MathCAD:

	Функция, корни которой необходимо найти.
	Функция для решения задачи методом простых итераций.
Получим решение стандартными средствами MathCAD:
	.
Вызываем функцию для решения уравнений методом деления отрезка пополам:
	.
А теперь для решения уравнений методом хорд:
	.
Используем метод Ньютона (метод касательных):
	.
Используем метод секущих:
	.
Используем метод простых итераций (используем подготовленную ранее функцию F1)
	.

Итак, решение уравнения найдено:

x=0.7080.