7. Позиционные системы счисления. Основные понятия: алфавит, разряды, весовые коэффициенты.
Система счисления — символический метод записи чисел, представление чисел с помощью письменных знаков. Системы счисления подразделяются на позиционные, непозиционные и смешанные.
В позиционных системах один и тот же знак может обозначать различные числа в зависимости от места (позиции), занимаемого этим знаком в записи числа. Так, шестидесятеричная вавилонская и десятичная системы счисления являются позиционными.
Алфавит системы счисления — это совокупность символов, используемых в данной системе счисления.
Разряд — позиция в записи числа.
, где
— это целые числа, называемые цифрами,
удовлетворяющие неравенству. Каждая
степень
в такой записи называется весовым
коэффициентом разряда.
8. Доказательство оптимальной троичной системы счисления.
Троичная система счисления — позиционная система счисления с целочисленным основанием, равным 3. Существует в двух вариантах: несимметричная и симметричная. В несимметричной троичной системе счисления чаще применяются цифры {0,1,2}, а в симметричной троичной системе счисления знаки {−,0,+}, {−1,0,+1}.
Плюсы троичной системы счисления:
Меньше разрядов.
Емкость. Троичная СС вмещает больший диапазон чисел, т.к. 3^n>2^n (где n-натуральное число). Например, если n=9, то 3^9=19683>2^9=512.
Экономичность системы счисления — запас чисел, который можно записать в данной системе с помощью определенного количества знаков. Чем больше запас тем экономичнее система. По затратам числа знаков (в трёхразрядном десятичном числе 3*10=30 знаков) наиболее экономична из позиционных показательных несимметричных систем счисления. Обозначим p основание системы счисления, n количество требуемых знаков. Тогда получим n/p разрядов требуемых для записи этого набора знаков в заданной системе счисления, а количество чисел которое при этом можно записать будет равно pn/p.
9. Причины использования двоичной системы счисления.
Двоичная система счисления — позиционная система счисления с основанием 2. Благодаря непосредственной реализации в цифровых электронных схемах на логических вентилях, двоичная система используется практически во всех современных компьютерах и прочих вычислительных электронных устройствах.
Преимущества двоичной системы счисления:
Простота совершаемых операций
Возможность осуществлять автоматическую обработку информации, реализуя только два состояния элементов компьютера.
Недостаток двоичной системы счисления:
Быстрый рост числа разрядов в записи, представляющей двоичное число.
Причина использования проста – ведь с точки зрения техники машину с двумя состояниями проще создать, причем упрощаются различения этих состояний.
10. Перевод чисел в системах счисления с основаниями, являющимися степенью друг друга.
11. Перевод целых чисел из произвольной системы счисления в произвольную.
12. Перевод дробных чисел из произвольной системы счисления в произвольную.
13. Перевод целых чисел из произвольной системы счисления в десятичную по схеме Горнера.
anan-1an-2...a1a0p=(...(an*p+an-1)*p+an-2)*p+...)+a1)*p+a0.
Эта формула и является иллюстрацией схемы Горнера для перевода целых чисел в десятичную систему счисления.
14. Сложение чисел в произвольной системе счисления.
15. Вычитание чисел в произвольной системе счисления.
16. Умножение чисел в произвольной системе счисления.
17. Деление чисел в произвольной системе счисления.
18. Кодирование числовой информации. Типы чисел. Порядок байтов в многобайтных числах.
Существует несколько вариантов представления чисел в ПК. Числа могут быть целые и дробные, положительные и отрицательные.
Целые положительные числа от 0 до 255 можно представить непосредственно в двоичной системе счисления, при этом они будут занимать один байт в памяти компьютера.
В вычислительных машинах применяются две формы представления дробных двоичных чисел:
в естественной форме или форме с фиксированной запятой (точкой);
в нормальной форме или форме с плавающей запятой (точкой).
С фиксированной запятой все числа изображаются в виде последовательности цифр с постоянным для всех чисел положением запятой, отделяющей целую часть от дробной.
