§2. Типы преобразований уравнений и методы их решения

Решение уравнений часто предполагает переход от исходного уравнения к уравнению такого вида, для которого известен метод нахождения корней. При этом интерес представляют такие преобразования, при которых решение преобразованного уравнения позволяет определить корни исходного уравнения.

Рассмотрим общие методы решения алгебраических уравнений.

Первый метод – алгебраический или метод равносильных преобразований [21].

В отношении формирования понятия равносильности и его использования школьные учебники можно разделить на две группы.

Первая группа учебников - та, в которых использование равносильных преобразований явно основано на введении и изучении понятия равносильности; Вторая группа – те учебники, в которых применение равносильных преобразований предшествует определению понятия равносильности.

На пропедевтическом этапе в начальном курсе математики и в начале изучения алгебры решаются простейшие линейные уравнения. Используемые преобразования получают индуктивное обоснование. По мере накопления опыта индуктивные рассуждения чаще заменяются такими, где равносильность используется, но сам термин не вводится.

Затем выделяется понятие равносильности и сопоставляется его теоретическое содержание с правилами преобразований, которые выводятся на его основе.

На основе общего понятия равносильности происходит развертывание и общей теории, и теории отдельных классов уравнений и неравенств.

Равносильные преобразования уравнений можно разделить на 2 типа [22].

Первый тип – преобразование одной из частей уравнения. Основой преобразований данного типа являются тождественные преобразования, поэтому классифицировать их можно в соответствии с классификацией тождественных преобразований (раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых, приведение к общему знаменателю и др.).

Второй тип – согласованное изменение обеих частей уравнения. Перенесение членов из одной части в другую, умножение и деление на одно и тоже число.

В процессе решения уравнений также используется понятие логического следования, которое изучается позже понятия равносильности и является дополнением к нему. Логическое следование применяется в основном тогда, когда не удается найти вариант равносильного преобразования. Реже, когда соблюдение требования равносильности приводит к громоздким решениям.

Преобразования, изменяющие логическую структуру можно разделить на два типа.

Первый тип - преобразования, осуществляемые на основе свойств арифметических операций. К ним можно отнести переход от уравнения к совокупности уравнений после предварительного разложения на множители; переход от уравнения к системе после приравнивания суммы квадратов выражений к нулю; почленное сложение, умножение, деление уравнений, неравенств и т.д.

Второй тип – преобразования, осуществляемые при помощи логических операций, например, выделение из системы одного из компонентов, замена переменных.

С понятием функция связаны графический и функциональный методы решения уравнений.

Прием решения уравнения алгебраическим методом [23].

1. Определите, является ли данное уравнение простейшим какого-либо вида; если «да», то выполнить п.5, если «нет» - п.2,;

2. определите, если необходимо, ОДЗ уравнения;

3. установите, какие и в каком порядке необходимо выполнить тождественные и равносильные преобразования, чтобы привести данное уравнение к простейшим данного вида;

4. выполните выбранные преобразования, используя соответствующие приемы;

5. решите известным способом полученные простейшие уравнения;

6. если нужно, сделайте проверку;

7. запишите ответ, используя приемы записи решения.

Типичные ошибки, приводящие к нарушению равносильности в процессе алгебраического решения уравнений и неравенств [23]

1. Ошибки в тождественных преобразованиях выражений в одной из частей.

2. Неодинаковость или неправильность действий, выполняемых в левой и правой частях.

3. Упрощение левой и правой частей в отдельности, в результате чего может измениться ОДЗ.

4. Деление обеих частей на одно и тоже выражение, вместо того, чтобы перенести все в одну сторону и вынести общий множитель за скобки.

5. Умножение обеих частей на одно и тоже выражение, вместо того, чтобы перенести все в одну сторону и привести к общему знаменателю.

6. Извлечение квадратного корня из обеих частей с неумением поставить после этого правильный знак. Лучше все перенести в одну сторону и разложить полученную разность на множители.

7. Возведение в квадрат обеих частей, что может привести к расширению ОДЗ. Нельзя возводить в квадрат при тех значениях неизвестных, при которых хотя бы одна из частей отрицательна.

8. При замене переменной не определяется область допустимых значений новой переменной.

Графический метод решения уравнений [22].

В общем случае уравнение с одной переменой х можно записать в виде

где f(x) и g(x) – некоторые функции. Функция f(x) является левой частью, а g(x) – правой частью уравнения. Тогда для решения уравнения необходимо построить в одной системе координат графики функций f(x) и g(x). Абсциссы точек пересечения будут являться решениями данного уравнения.

Заметим, что, так как функция f сопоставляет каждому x D(f) одно число f(x), то график функции f пересекается любой прямой, параллельной оси ординат, не более, чем в одной точке. И наоборот: всякое непустое множество точек плоскости, имеющее со всякой прямой, параллельной оси ординат, не более одной общей точки, являются графиком некоторой функции.

Прием решения уравнений графическим методом [23].

1. если нужно, преобразуйте уравнение к виду f(x) = g(x), выбрав f(x) и g(x) наиболее простого вида;

2. постройте графики функции y=f(x) и y=g(x) в одной и той же системе координат;

3. найдите абсциссы точек пересечения графиков x0, каждая из них есть корень уравнения;

4. найдите промежутки оси абсцисс, для которых график функции y=f(x) расположен выше графика функции y=g(x);

5. запишите ответ.

Функциональный метод решения уравнений [22].

Не всякое уравнение вида (3) в результате преобразований может быть приведено к уравнению того или иного стандартного вида, для которого подходят обычные методы решения. В таких случаях имеет смысл использовать такие свойства функций f(x) и g(x) как монотонность, ограниченность, четность, периодичность и др. Так, если одна из функций возрастает, а другая убывает на определенном промежутке, то уравнение (3) не может иметь более одного корня, который, в принципе, можно найти подбором. Далее, если функция f(x) ограничена сверху, а функция g(x) – снизу так, что f(x)_мах=А g(x)_мin=A, то уравнение (3) равносильно системе уравнений

Также при использовании функционального метода рационально использовать некоторые теоремы, приведенные ниже. Для их доказательства и использования необходимы следующие уравнения общего вида:

f(x)=x (4)

(5)

Теорема 1. Корни уравнения (4) являются корнями уравнения (5) [23].

Теорема 2. Если f(x) – возрастающая функция на интервале a<f(x)<b, то на данном интервале уравнения (4) и (5) равносильны. Если f(x) – убывающая функция на интервале a<f(x)<b, n - нечетное, то на данном интервале уравнения (4) и (5) равносильны [23].

Из последней теоремы вытекают следствие, также используемое в решениях:

Следствие 1. Если f(x) возрастает на всей своей области определения, то на данном интервале уравнения (4) и (5) равносильны. Если f(x) убывает на всей своей области определения, n - нечетное, то на данном интервале уравнения (4) и (5) равносильны.

Теорема 3. Если в уравнении (3) при любом допустимом х выполняются условия f(x)≥a, g(x)≤a, где а – некоторое действительное число, то дано уравнение равносильно системе

Следствие 2. Если в уравнении f(x)+g(x)=a+b при любом допустимом х f(x)≤a, g(x)≤b, то данное уравнение равносильно системе

Функциональный метод решения уравнений часто используется в комбинации с графическим, так как оба эти метода основаны на одних свойствах функций [24].