3.3. Кинематический анализ методом планов

3.3.1. Построение планов скоростей

Кинематический анализ механизмов методом планов — графический способ решения уравнений, описывающих кинематические соотношения между скоростями

и ускорениями точек звеньев механизма как твердых тел и выведенных в курсе теоретической механики (ТМ).

Предварительной операцией в построении планов скоростей является определение скорости точки входного звена, в которой к этому звену присоединяется звено первой в структуре механизма группы Ассура. В механизмах, представленных в Задании к курсовому проекту, такой точкой является концевая точка В кривошипа, поэтому по заданной угловой скорости вращения кривошипа получаем:

.

Направлена скорость точки В по касательной к её окружной траектории (т.е. перпендикулярно оси кривошипа) в сторону вращения кривошипа.

Дальнейшее рассмотрение по данной теме ограничим примерами построения планов скоростей для двух структурных групп, приведенных выше.

Пусть к механизму I класса присоединена структурная группа II класса 2-го порядка первого вида (группа 2, 3, см. рис. 3.4, а). Необходимо построить план скоростей для группы в некотором промежуточном положении её звеньев.

Известны скорости концевых кинематических пар группы 2, 3 — точек В и D: скорость точки В определена выше, скорость неподвижной точки равна нулю. Найдем скорости других характерных точек группы : шарнира С и центров масс звеньев группы.

Для отыскания скорости точки С воспользуемся соотношением, выведенными в курсе ТМ и связывающим скорости двух точек тела при плоском движении последнего. Точка С принадлежит звену 2, поэтому, считая точку В полюсом, получаем: (3.1)

- 15 -

а) б)

Рис. 3.4

В векторном уравнении (3.1) известны величина и направление скорости точки В (см. выше), направление скорости точки С в её вращательном движении вокруг не-

подвижной точки D ( ), направление скорости точки С в её вращательном

движении вокруг точки В ( ). Таким образом, в уравнении имеем две неизвестные величины — модули векторов . Графический способ решения уравнения позволяет найти эти неизвестные.

Отмечаем на чертеже произвольную точку и строим вектор , изображающий в принятом масштабе скорость точки В. Если, например, скорость точки В равна 5 м/с, а масштаб для изображения скоростей принят равным 0,1 , то длина вектора будет равна 50 мм. Направлен вектор так же, как вектор (см. рис. 3.4, б). Согласно уравнению (3.1) с концом вектора должно быть совмещено начало вектора, изображающего скорость , однако, поскольку известно только направление этого вектора, то возможно лишь построение вспомогательной прямой, на которой лежит вектор скорости (см. рис. 3.4, б). Вектор скорости как суммы векторов и своим началом имеет начало вектора , поэтому возможно построение вспомогательной линии, на которой лежит данный вектор.

В пересечении этих двух направлений имеем точку с — конец вектора , изображающего на плане скоростей скорость точки С. Отрезок bc определим как вектор, изображающий скорость и в результате устанавливаем, что построенный векторный треугольник является непротиворечивым графическим изображением векторного уравнения (3.1). Этот векторный треугольник определим как план скоростей для механизма на рис. 3.4, а. Численные значения неизвестных скоростей найдем непосредственно из плана скоростей, измерив соответствующие отрезки и умножив полученные длины на масштаб плана:

.

- 16 -

Значения угловых скоростей звеньев 2, 3 механизма найдём, также используя данные плана скоростей:

.

Пусть далее к механизму I класса присоединена структурная группа II класса 2-го порядка третьего вида (группа 2, 3, см. рис. 3.5, а).

Переходим к определению скоростей точек, принадлежащих кулисе 3. Зафиксируем на кулисе точку В₃, геометрически совпадающую в рассматриваемом положении механизма с точками В₁, В₂, и рассмотрим уравнение, связывающее скорости этих точек. Исходим при этом из того, что движение точки В₂ можно рассматривать в двух вариантах. С одной стороны, движение точки В₂ как точки, совпадающей в каждый момент времени с точкой В₁, вполне определено (см. выше). С другой стороны движение точки В₂ можно рассматривать как сложное движение, представленное переносным движением ползуна вместе с кулисой 3 и относительным движением ползуна вдоль оси кулисы. Для этого сложного движение по теореме о сложении скоростей имеем: .

а) б)

Рис. 3.5

В данном векторном уравнении искомой является скорость . Поэтому выполним следующее преобразование:

, или . (3.2)

В последнем векторном уравнении известными являются следующие величины: модуль и направление вектора ; направление вектора ( этот вектор проти-

- 17 -

воположен вектору , который направлен вдоль оси кулисы 3) ; направление вектора ( ВС). В результате имеем две неизвестные величины — модули векторов и , которые могут быть определены графическим способом решения уравнения (3.2) — построением плана скоростей.

Отмечаем на плоскости произвольную точку (см. рис. 3.5, б) и строим вектор , изображающий в принятом масштабе скорость точки В₂ (имеем при этом в виду, что ; скорость находим по заданной угловой скорости вращения кривошипа — см. выше). Далее, согласно уравнению (3.2), через конечную точку этого вектора строим прямую — направление вектора ( ВС), а через полюс проводим прямую — направление вектора ( ВС). Пересечение этих направление определит точку — конец вектора, изображающего на плане скоростей скорость точки В₃.

Численные значения скоростей и , как и выше, находим непосредственно из плана скоростей:

.

Угловую скорость звена 3 также находим по данным плана скоростей: . Направление определяется направлением скорости . Угловая скорость звена 2 совпадает с угловой скоростью звена 3, поскольку относительное движение этих звеньев — поступательное.

Скорость любой произвольной точки механизма, для которого построен план скоростей (построение плана скоростей можно считать завершенным, если определены векторы скорости всех кинематических пар механизма), можно найти из того же плана, используя известное из курса ТМ правило о подобии фигур кинематической схемы механизма и его плана скоростей, обозначенных одноименными символами, и выполняя соответствующие дополнительные построения.

Пусть, например, построен план скоростей для механизма, включающего начальный механизм и последовательно присоединенные к нему две группы II класса (см. рис. 3.6). Необходимо найти скорость точки Е и скорость центра масс звена 2.

а) б)

Рис. 3.6

- 18 -

Вначале отметим, что неподвижным точкам механизма на его кинематической схеме соответствует полюс плана скоростей (это вполне корректное замечание, поскольку полюс можно рассматривать как вектор, начало и конец которого совпадают, т.е. как нуль-вектор скорости неподвижной точки). Это положение зафиксируем на плане скоростей, указав рядом с обозначением полюса строчные буквы, одноименные обозначениям неподвижных точек механизма, например, обозначениям кинематических пар, соединяющих подвижные звенья со стойкой (см. рис. 3.6, б).

Вектор скорости точки Е найдем, используя подобие фигур: отрезка СDE на кинематической схеме механизма и отрезка c e на плане скоростей. В подобных фигурах соответствующие отрезки пропорциональны, поэтому имеем:

Вектор скорости центра масс звена 2 найдем из предположения, что звено 2 есть однородный стержень постоянного поперечного сечения и его центр масс расположен в геометрическом центре стержня, т.е. посередине между точками В и С. Соответственно, в силу подобия, точка на плане скоростей будет располагаться посередине отрезка bc и скорость центра масс звена 2 изобразится вектором .