Билет № 5. Статус математики в структуре науки (Пифагор, Платон, Аристотель).

Наша же философская традиция, представляя собой непрерыв­ную линию, восходит к Греции шестого столетия до н. э., а в то время особой задачей было создание оснований математики. Гре­ческая философия поместила математику в центр своих построений, и когда она разрабатывала проблему познания, то она имела в виду прежде всего математическое знание. С той поры вплоть до прошлого столетия были две великие конструктивные эпохи в европейской истории. В средние века ос­новные проблемы перед мыслью ставила теология, и проблематика философии возникала поэтому из размышлений над нею и каса­лась отношений между богом и человеком. От шестнадцатого до девятнадцатого века мысль была устремлена в основном на то, чтобы создать фундамент естественных наук, и основной темой фи­лософии было отношение человеческого ума как субъекта познания к внешнему миру природных явлений вокруг него как объекту по­ знания.

У пифагорейцев было несколько кругов очищение до принятия в общину. Некоторые претенденты придавались голоданию, некоторых заставляли молчать на протяжении нескольких лет. Целью для таких лишений было отречение от всего земного и возможность наблюдать только высшие «геометрические» формы бытия. После вступления в общину, ученики Пифагора не представляли, однако, при всем их стремлении к общности, одну общую массу, так как соблюдалось строгое различение и разграничение: те, кто преуспели в занятиях, назывались «математики» («познаватели»), а те, кто отстали от них, - «акусматики» («слушатели»). Обучение велось с помощью символов и иносказаний, что делало его содержание недоступным для непосвященных и предохраняло учение от профанации и опошления. На первоначальной стадии обучения главной целью было очищение души, освобождение ее от страстей, о чем мы уже упоминали выше. Кроме исправления души музыкой и применения различных видов воздержания, сюда входило выполнение чисто этических требований, как-то: уважение старших, почитание богов, принцип справедливости по отношению ко всем, включая неразумных животных, и в этой связи требование не причинять вреда ничему живому, а также соблюдение верности договорам. Немалая роль в пифагорейской школе отводилась тренировке памяти. (с) Ямвлих

Из этих мыслей можно судить о том, что математика занимала существенную роль в списке наук при Пифагоре.

Платон:

Платон создал теорию идей. Эта теория легла в основу всей греческой философии, определила стиль и образ мышления образованных греков и оказала огромное влияние на дальнейшее развитие философии и науки греко-римско-европейской культуры. Вопрос: изучает ли математика несуществующие вещи? Во-первых, математика приносила неоспоримую практическую пользу. Правда, Платон и его последователи относились к практике с презрением, но это было уже логическим следствием философии, а не ее посылкой. Во-вторых, всякий человек, изучающий математику, совершенно ясно чувствует, что имеет дело с реальностью, а не с фикцией, и никакими логическими доводами искоренить это ощущение невозможно. Следовательно, объекты математики реально существуют, но не как материальные предметы, а как образы, или идеи, потому что слово идея по-гречески и означало образ, вид. Идея существует вне мира материальных вещей и независимо от него. Чувственно воспринимаемые материальные вещи суть лишь несовершенные и временные копии (или тени) совершенных и вечных идей. Утверждение о реальном, объективном существовании мира идей и составляет сущность учения Платона («платонизма»). Понятия математики не являются единственными обитателями «мира идей» Платона. Всякое общее понятие претендует на место в этом мире. Рассуждение, обосновывающее эту претензию, таково. Существование мира идей обеспечивает математике прочное и высокое положение — она становится наукой об идеях. Чувственный опыт дает нам несовершенное, приблизительное знание о несовершенных, приблизительных воплощениях идей. Доказательства математики дают совершенное знание о самих идеях. Под влиянием идеализма Платона математики древней Греции стремились изгнать из своей науки все, что можно истолковать как обращение к данным чувственного опыта. С одной стороны, это имело положительные последствия, так как способствовало разработке техники доказательства и привело к созданию понятия о дедуктивной теории. Греки старались сделать доказательства логически безукоризненными, исключить из них сомнительные выводы и неявные допущения, апеллирующие к наглядности. Они доказывали, а не показывали. Число явных допущений они стремились свести к минимуму, оставить из них лишь те, которые можно было считать выражением свойств «самих идей», а не вещей, т. е. свойств, открывающихся разуму, «внутреннему взору», а не органам чувств. Эти допущения включались в определения исходных понятий или, точнее, слов, ибо понятия (идеи) существовали для греков как объективная реальность, независимая от всяких слов, а определения нужны были лишь для того, чтобы не ошибиться в установлении соответствия между словами и понятиями. Так что явные допущения, делаемые греческими математиками, представлялись им не определениями в современном смысле слова (согласно которому определение порождает математический объект), а просто указаниями на те из истинных свойств реально существующих идей, которые постигаются разумом легче, чем другие, — без вспомогательных рассуждений. 

Классификация наук по Ариститотелю:

Высшие науки: теоретические. 1) Предмет вечные и неизменные сущности, которые открыты математике. Пример: математика и логика

2) а) практические (физика, история, …)

б) творческие

Все «частные науки» Аристотель отличает от «первой философии» в двух смыслах: в экстенсивном и интенсивном. В первом смысле всякая «частная наука» исследует ту или иную, но всегда «часть сущего», «какую-нибудь (отдельную) область» бытия, в отличие от философии, рассматривающей сущее как таковое, в его целом. Во втором смысле все «частные науки» предпосылочны, поскольку они «не дают никакого обоснования для сути предмета». «Первая философия» же беспредпосылочна, поскольку она исследует сущее в его первых началах или причинах, дальше которых познание идти не может. В области теоретических наук наиболее близкой к философии у Аристотеля (как и у Платона) является математика, занимающая промежуточное положение между философией и физикой. Анализ его суждений по тем или иным вопросам математики свидетельствует прежде всего о том, что он прекрасно знал как состояние современной ему математики, так и основные философско-методологические подходы к интерпретации наиболее существенных проблем математического познания (пифагорейскую доктрину математики, атомистическую концепцию математики Демокрита, Платонову концепцию математики). Будучи крупным мыслителем, Аристотель не ограничился простой констатацией существующего положения дел, а по всем наиболее существенным пунктам выразил свою собственную точку зрения, явившуюся результатом критического осмысления всех предыдущих подходов к истолкованию математики. Аристотелевская концепция математики в целом основывается на началах, принципах его «первой философии». Это проявляется прежде всего в трактовке Аристотелем центральной философской проблемы математического познания — проблемы существования математических объектов. В решении этой проблемы Аристотель существенно расходится не только с Платоном, объективно-идеалистически интерпретировавшим статус математических объектов как мыслительных сущностей, самостоятельных по отношению к единичным материальным вещам, но и с пифагорейцами, исходившими из признания тезиса «число есть сущность всех вещей». «Теперь, если существуют математические предметы, — рассуждает Стагирит, — они должны либо находиться в чувственных вещах, как утверждают некоторые, либо быть отдельно от чувственных вещей (и это тоже некоторые говорят); а если они не существуют ни тем, ни другим путем, тогда они либо (вообще) не существуют, либо существуют в ином смысле: таким образом, (в этом последнем случае) спорным у нас будет (уже) не то, существуют ли они, но каким образом (они существуют)». В противоположность платоникам, гипостазировавшим математические предметы подобно идеям, Аристотель исходит из того, «что предметы математики нельзя отделять от чувственных вещей, как это утверждают некоторые, и что начало вещей —не в них». С другой стороны, в противоположность пифагорейцам он утверждает, что математические предметы не существуют и в самих вещах в качестве сущности последних. Согласно Аристотелю, в реальных, физических вещах существуют определенные свойства, акциденции, являющиеся своего рода «прообразами» математических предметов, которые формируются из них посредством абстрагирующей деятельности теоретического мышления. «[Свойства же], неотделимые от тела, но, с другой стороны, поскольку они не являются состояниями определенного тела и [берутся] в абстракции, [изучает] математик». Помимо объективности свойств вторая существенная характеристика математических предметов заключается в том, что они «чужды движению, за исключением тех, которые относятся к астрономии». Последнее суждение следует оценивать конкретно-исторически: в ту эпоху математика, существовавшая преимущественно в форме арифметики и геометрии, действительно не исследовала природу движения, процессов изменений, что стало возможным лишь в Новое время в связи с введением Декартом понятия переменной величины.