Преобразования координатных систем

Пусть даны две системы координат OXYZ и Oxyz . Из аналитической геометрии известно, что ортогональному преобра­зо­ванию простран­ст­венных координатной системы OXYZ или Oxyz с со­вме­щенными началами соответствуют формулы

(2)

где a_i,b_i,c_i (i=1,2,3) – косинусы углов, состав­ленных координатными осями X, Y, Z сис­темы OXYZ с координатными осями x, y, z сис­темы Oxyz .

Величины a_i, b_i, c_i называют направ­ляю­щими косину­сами, или ком­понен­тами мат­рицы орто­гональ­ного преобразования.

Три параметра, от которых зависят значе­ния на­прав­ляющих косину­сов, называют уг­лами Эй­лера, которые в фотограмметрии ото­ждествляют с угло­выми элемен­тами внешнего ориентирования.

Выбор углов Эй­лера осуществляется различ­ными спосо­бами, и от того, как это сде­лано, зави­сит вид функ­ции для опре­деления направляющих косинусов.

Уравнения (2) могут быть представлены в матричной форме

(3)

где прямая и транспо­ни­рованная мат­рицы ортогонального преобразования, причем

(4)

Для промежуточных координатных систем SXYZ и Sxyz, когда для всех точек аэроснимка z =–f, вместо формул (3) будем иметь:

(5)

Если координаты главной точки аэроснимка не равны нулю, то в фор­мулах (5) величины x и y заменяют на (x – x_o) и (y – y_o).

3. Определение направляющих косинусов

Для определения направляющих косинусов воспользуемся извест­ными из аналитиче­ской геометрии формулами связи исходных (x, y) и преобра­зованных (x΄, y΄) координат то­чек при повороте координатных осей на угол φ, отсчитываемый против часовой стрелки:

(6)

и

.

Для определения направляющих косинусов выполним преобразо­вание ко­ординатной системы Sxyz в систему SXYZ путем трех по­сле­довательных поворотов вокруг коор­динатных осей, каждый из которых описывается форму­лами (6), и найдем произведение соответствующих этим поворотам мат­риц. При этом будем использовать угловые элементы внешнего ориен­тиро­ва­ния ,  и . Из трех углов, связывающих системы Sxyz и SXYZ, один () ле­жит в плоскости Sxy, другой () – в плоскости SXZ, а третий угол ()  в плоскости SoY , не являющейся коор­динатной ни в системе Sxyz, ни в системе SXYZ.

Необходимо преобразовать систему Sxyz в систему SXYZ в ре­зультате трех после­до­вательных поворотов ее координатных осей на углы –, –, –, форми­руя мат­рицу ортогонального пре­обра­зования на основе зависимостей (6).

1. Первый поворот системы Sxyz на угол – вокруг оси Sz преоб­ра­зует ее в систему Sxyz (рис. 3.8). Мат­рица ор­тогональ­ного преоб­разова­ния

(7)

2. Второй поворот системы Sxyz на угол – вокруг оси Sx пре­об­разует ее в SxYz (рис. 3.8). При этом оси Sx и Sz окажутся лежа­щими в плос­кости SXZ, а матрица орто­го­нального преобразова­ния бу­дет иметь вид:

(8)

3. Третий поворот системы SxYz вокруг оси sy на угол – пре­об­разует ее в сис­тему sxyz (рис. 3.8). Матрица ортогонального пре­об­разо­вания будет иметь вид:

(9)

Матрица преобразования, соответствующая суммарному повороту, определяется как произведение трех матриц:

Перемножить матрицу, значит составить новую, каждый элемент которой равен сумме произведений строк первой матрицы на элементы столбцов второй.

(10)

.

где направляющие косинусы вычисляют по формулам:

(11)

Для связи направляющих косинусов с угловыми эле­ментами внеш­него ориентирования первойсистемы _c, t и  вы­полним три последо­вательных поворота системы SXYZ: вокруг оси SZ на угол t в положение SxyZ; вокруг оси Sy на угол _c в положе­ние Sxyz; во­круг оси Sz на угол  в положение Sxyz. Перемножив соответст­вующие мат­рицы ортогонального преобразо­вания, получим значения направляющих косинусов.

(12)

Если известны направляющие косинусы, то угловые элементы внеш­него ориентиро­вания в первой и второй системах можно опреде­лить по следующим формулам:

(13)

(14)

Знак суммарного угла наклона _c второй системы условимся счи­тать соответствую­щим знаку про­доль­ного угла наклона  первой сис­темы элементов внешнего ориентирования.

4. Связь координат соответствующих точек наклонного снимка и местности

П усть из точки S получен аэроснимок P (рис.9), на ко­тором имеется изо­бражение m точки местности M. . Требуется уста­но­вить зависимость между координатами точек m и M, полагая эле­менты внеш­него ори­ентирования аэроснимка известными. Ко­ор­динаты этих точек в системах Sxyz, SXYZ и OXYZ известны.

(15)

Подставив в эти выражения значения пространственных коор­динат точки снимка из равенств (3.4), получим

. (16)

Полученные формулы позволяют определить координаты точки ме­ст­ности по коор­дина­там ее изображения на аэроснимке в случае, если из­вестна высота точки Z_M. Та­ким образом, для определения про­странственных координат точки дан­ных одного аэроснимка, т. е. двух измерений координат изображения, недостаточно.

Решение обратной задачи - определение координат точки аэ­роснимка по ее коор­динатам на местности и элементам внешнего ориен­тирования:

Так как координатные оси систем SXYZ и OXYZ параллельны, приращения X_M–X_S, Y_M–Y_S и Z_M–Z_S ко­орди­нат точки M относи­тельно центра фотографирова­ния можно рассматривать как ее ко­ор­ди­наты в системе SXYZ, переход от которых к ко­орди­натам той же точки в системе Sxyz описывается зависимостями (3.4). Следова­тельно

. (17)

Таким образом, по трем измерениям (пространственным координа­там точки местно­сти) определены два неизвестных; третье измерение неявно использовано для определения мас­штаба изображения.