5. Некоторые свойства функций

Ограниченные функции. Функция называется ограниченной сверху (снизу) в области , если существует такое число , что для всех выполняется ( ).

Функция называется ограниченной в , если она ограничена и сверху и снизу, т.е. существуют такие числа и ( ), что для всех выполняется .

Примеры: 1. Функция ограничена снизу на всей числовой оси, так как для всякого числа выполняется , но не ограничена сверху.

2. Функция не ограничена на всей числовой оси, но ограничена на , так как выполняется , т.е. существуют числа , и такие, что .

3. Функция ограничена на всей числовой оси, так как для любого числа выполняется .

4. Функции , , , , , ограничены в своих областях определения.

Монотонные функции. Пусть:

1) функция определена в D;

2) приращение функции .

Функция называется монотонно возрастающей (убывающей) в D в строгом смысле, если для выполняется или , рис.13 ( или , рис. 14), и называется неубывающей (невозрастающей), если или , рис.15 ( или ).

Пример. Функция – монотонно убывающая в интервале .

Действительно, для произвольных приращение функции имеет вид:

(*)

Так как при имеем , следовательно, , тогда из (*) следует, что или , т.е. монотонно убывает в .

Отметим, что функции , , , , , строго монотонны в своих областях определения.

Если функция не является монотонной в области определения, но область определения можно представить в виде объединения промежутков, на каждом из которых функция является монотонной, то функция называется кусочно-монотонной.

Пример. 1. Функция – кусочно-монотонная, так как она строго возрастает на множествах , и строго убывает на множествах , (рис. 5).

2. Функция – кусочно-монотонная, так как она строго возрастает на множествах , и строго убывает на множествах (рис. 6).

3. Функция – кусочно-монотонная, так как она строго возрастает на множествах , (рис. 7).

4. Функция – кусочно-монотонная, так как она строго убывает на множествах , (рис. 8).

Четные и нечетные функции. Функция определенная в симметричном интервале , называется четной, если , и нечетной, если .

Пример. 1. – нечетная функция, так как она определена на и

.

2. – четная функция, так как она определена на и

.

3. Докажем, что всякую функцию, определенную в , можно представить в виде суммы четной и нечетной функций.

Действительно,

,

где , .

Так как , то – четная функция; так как , то – нечетная функция. Следовательно, функция есть сумма четной функции и нечетной функции .

Периодические функции. Функция , определенная в D, называется периодической, если существует число такое, что выполняется

.

Наименьшее из Т, для которых выполняется последнее равенство, называется периодом ; тогда ( ) – период функции в широком смысле слова.

Пример. Найти, если существует, период функции ( ).

Решение. Функция определена . По определению или – уравнение для определения ; преобразуем его: . Так как – любое из , то последнее уравнение выполняется, если , отсюда , т.е. . Наименьшее положительное (отличное от нуля) получим при . Итак, функция – периодическая с периодом .

Замечание. Функции , имеют период , функции , – период .

Теорема. Если функция , определенная в , имеет период , а функция , определенная в , – период , то

1) функция , определенная в будет периодической с периодом , если отношение – рациональное число;

2) период – наименьшее общее кратное чисел, и .

Доказательство. 1) По определению

, ,

где , – целые.

Пусть кратное чисел и , тогда и , где и – целые числа, тогда – рациональное число.

, т.е. функция – периодическая с периодом в широком смысле. Если – наименьшее общее кратное чисел и , то – период функции .

Пример. Будет ли периодической функция ?

Решение. Функции и определены и имеют периоды и соответственно. Тогда определена . Так как – иррациональное число, то функция – непериодическая.