6. Обратные функции

Рассмотрим примеры. Основная элементарная функция , определенная на , каждому числу из множества ставит в соответствие единственное число из отрезка (рис.16). Возникает вопрос, найдется ли для конкретного числа из отрезка значение , такое, что . Непосредственной проверкой убеждаемся, что такими числами будут и (рис. 17).

Действительно, и . Так для находим и .

Таким образом, всякому числу функция ставит в соответствие единственное число , но для всякого числа , отличного от нуля из отрезка можно указать, по крайней мере, две функции и , которые переводят одну и ту же точку из в две разные точки из множества . Функция каждой точке ставит в соответствие единственную точку , а функция каждой точке ставит в соответствие единственную точку . Таким образом, не существует единственной основной элементарной функции, которая переводила бы все точки из множества во все точки множества .

Рассмотрим теперь функцию , (рис. 18), которая отличается от выше рассмотренной функции только областью определения. Эта функция каждому числу ставит в соответствие единственное число . Функция каждому ставит в соответствие единственное число . Таким образом, между числовыми множествами и установлено взаимно однозначное соответствие и, кроме того, . Функция в таком случае называется обратной для функции , а функция , в свою очередь, называется обратной для функции .

Возникает вопрос, в каких случаях для функции существует обратная функция? Ответ дает следующая теорема (приведем ее без доказательства).

Теорема. Если непрерывная функция строго монотонна в области и имеет область значений , то для нее существует однозначная обратная функция , определенная на и с областью значений .

Замечание. Предполагается, что понятие непрерывной функции знакомо из школьного курса математики, хотя бы как функции, график которой – сплошная линия, т.е. его можно нарисовать одним росчерком (не отрывая карандаша от бумаги). Чуть позже дадим строгое определение непрерывной функции.

Пример. Показательная функция является непрерывной и строго монотонной (строго возрастающей при и строго убывающей при ), т.е. удовлетворяет условиям теоремы о существовании обратной функции. Такой функцией является функция ( ).

Так как ранее условились обозначать функцию символом , а аргумент символом , то в обратной функции символы и меняем местами и имеем обратную функцию в виде .

Тогда функция есть обратная для функции , а функция есть обратная для функции , и, таким образом, и – взаимно обратные функции.

Обратные тригонометрические функции , , , ввели как обратные соответствующим тригонометрическим функциям (этот факт зафиксирован уже в самом названии функций), а затем поменяли местами символы и .

Так функция есть обратная для строго монотонной функции с областью определения и множеством значений ; функция есть обратная функция для строго монотонной функции с областью определения и множеством значений .

Для монотонных функций заданных аналитически обратную функцию можно получить, выразив через (для этого необходимо найти из уравнения ).

Для кусочно-монотонных функций обратную функцию находят на каждом интервале монотонности.

Пример. , , . Функция представлена графиком (рис.19). На отрезке функция строго возрастает, следовательно, существует обратная к ней функция, которую найдем последовательно выполняя преобразования:

.

Так как , то искомой обратной функцией будет с областью определения и множеством значений .

Для убывающей на отрезке функции получим (повторив преобразования) обратную функцию с областью определения и множеством значений .

Отметим, что графики взаимно обратных функций и симметричны относительно прямой (биссектрисы первого и третьего координатных углов). Действительно, точка графика функции симметрична относительно прямой точке . Если обозначить , то и точка является точкой графика функции при значении аргумента .

Например, графики функций и симметричны относительно прямой (рис. 20).

Аналогично, графики попарно взаимно обратных функций и , и , и , и тоже симметричны относительно прямой .