Раздел 5 Изображения токов и напряжений комплексными числами

Рассмотрим мгновенное значение тока .

Покажем, что вращающийся вектор на комплексной плоскости соответствует этому току.

Вектор, изображённый на комплексной плоскости (рис.5.1.), записывается аналитически –

где

- оператор поворота на угол 

- оператор вращения со скоростью ω.

Рис.5.1.

Следовательно

Произведение обозначается и называется комплексной амплитудой тока. Аналогично мгновенные значения напряжения и ЭДС будут –

Здесь и комплексные амплитуды напряжения и ЭДС.

В расчёте можно оперировать и действующими значениями величин –

; ; .

Символический метод, основанный на изображении векторов комплексными числами введён Штейнмецом, у нас развит Миткевичем В.Ф.

(5.1)

Выражение 5.1 представляет собой формулу Эйлера.

5.1 Связь комплексных амплитуд тока и напряжения в пассивных элементах электрической цепи

U_R

i_R

U_L

i_R

U_C

i_С

5.2 Законы Кирхгофа для токов и напряжений, представленных комплексными амплитудами

Теперь объединим рассмотренные элементы в последовательную цепь с заданным током. Тогда ЭДС, приложенная к этой цепи, будет –

(5.2)

Это соотношение (5.2) представляет собой второй закон Кирхгофа для комплексных амплитуд напряжения и тока.

Соединяя те же элементы в параллельную цепь с известной ЭДС, определяем ток источника –

(5.3)

Полученное равенство (5.3) представляет собой первый закон Кирхгофа для комплексных амплитуд напряжения и тока.

Законы Кирхгофа в комплексной форме записи представлены алгебраическими уравнениями, поэтому для расчёта цепей переменного тока методом комплексных амплитуд можно применять все методы обоснованные ранее – метод контурных токов, узловых потенциалов, наложения и эквивалентного генератора.

Расчёт цепи переменного тока так же, как и расчёт цепи постоянного тока, иногда удаётся значительно упростить, применив преобразование соединения трёхлучевой «звезды» в соединение «треугольник» и наоборот (рис.5.2.).

Ввиду особой важности этого преобразования, весьма часто применяемого при расчёте трёхфазных цепей, приведём формулы для перехода от одного вида преобразования к другому и наоборот.

а) б)

Рис.5.2. а) Соединение «звездой»; б) Соединение «треугольником».

Раздел 6 Методы расчёта электрических цепей

6.1 Метод контурных токов (мкт)

Ранее рассматривались простейшие одноконтурные (двухконтурные) электрические цепи и схемы с двумя узлами. Были описаны способы преобразования схем, с помощью которых в ряде случаев удаётся упростить расчёт разветвлённой электрической цепи.

Реально электротехнические и электронные системы содержат несколько источников ЭДС. Расчёт таких схем достаточно сложен, поэтому в ТОЭ разработаны методы расчёта таких схем на основе законов Кирхгофа. К таким методам относятся:

- метод контурных токов (МКТ)

- метод узловых потенциалов (напряжений) (МУП)

- метод эквивалентного генератора (МЭГ)

- метод переменных состояний (МПС)

Метод контурных токов (основан на 2 законе Кирхгофа) позволяет уменьшить количество уравнений системы до числа

- число уравнений (составленных по II закону Кирхгофа).

Если в цепи некоторые узлы соединяются ветвями, не имеющими проводимости (они могут содержать источники тока), то число уравнений К_II, составленных по методу контурных токов уменьшается на N_T.

Метод основывается на том свойстве, что ток в любой ветви цепи может быть представлен в виде алгебраической суммы независимых контурных токов, протекающих в этой ветви.

При пользовании методом сначала выбирают и обозначают независимые контурные токи (по любой ветви должен протекать хотя бы один выбранный ток).

- число независимых контурных токов, их необходимо выбирать проходящими по ветви, не содержащими источников тока.

Пусть электрическая цепь содержит n контуров (независимых). Согласно II закону Кирхгофа получаем следующую систему из n линейных уравнений:

При этом следует считать , если условные положительные направления контурных токов в одной ветви контуров к и m совпадают, и , если они противоположны.

где ₁ ₂ _n - алгебраические дополнения

Токи в ветвях определяем как алгебраическую сумму контурных токов. Переход к мгновенным значениям токов осуществляем по формуле Эйлера.

 - определитель системы.

Расчёт установившегося режима в цепи переменного тока комплексным методом выполняется в следующей последовательности:

1. Составляется электрическая схема, на которой все источники и пассивные элементы представляются комплексными величинами соответственно напряжений, токов, сопротивлений (проводимостей).

2. Выбирается условно положительное направление для комплексных значений напряжений, ЭДС и токов.

3. Согласно уравнениям электрических цепей (Ома, Кирхгофа) в комплексной форме составляются алгебраические уравнения для рассчитываемой цепи.

4. Уравнения цепи разрешаются относительно искомых переменных (токов, напряжений) в их комплексной форме.