1.3 Союзная и обратная матрицы. Свойства треугольных матриц. Клеточные (блочные) матрицы.

Теорема. Всякая неособенная квадратная матрица порядка имеет обратную /7, п.4.6/.

По сути, мы докажем (1.10), принятое ранее априорно.

Союзной (или присоединенной) матрицей (часто ) для квадратной матрицы порядка называется новая матрица, составленная из ее алгебраических дополнений (1.16) и затем транспонированная /7/:

(1.23)

Заметим, что в матрице алгебраические дополнения элементов строк матрицы помещены в столбцах (транспонирование).

Умножим союзную матрицу на скалярную величину, обратную определителю Матрица и есть матрица, обратная матрице . Действительно, умножив матрицу на полученную матрицу , получим некоторую матрицу порядка , у которой на главной диагонали будут расположены дроби, в числителях которых записана сумма произведений элементов строк матрицы на их алгебраические дополнения, то есть согласно разложению (1.17) определитель матрицы . Все остальные элементы матрицы есть дроби, в числителях которых записана сумма произведений элементов строк матрицы на алгебраические дополнения элементов другой строки, а эти суммы согласно (1.18) равны нулю.

В знаменателях всех дробей стоит Таким образом, все элементы на главной диагонали матрицы равны 1, а все побочные элементы являются нулевыми, то есть матрица есть единичная матрица , то есть мы установили, что произведение матриц

(1.24)

есть единичная матрица, и таким образом, матрица есть обратная матрица для матрицы , что требовалось доказать.

Составляя произведения и , говорят, что матрицу умножают на обратную справа, а во втором случае – слева.

Свойства обратной матрицы /7/:

1. Если для матрицы существует обратная матрица , то она единственная. Пусть и . Умножив обе части первого равенства слева, а второго справа на , найдем:

,

, следовательно

, что требовалось доказать

2. Особенная (вырожденная) матрица, определитель которой равен нулю, обратной матрицы не имеет.

По определению, , но

С другой стороны, =1, и приходим к противоречию , что невозможно.

3. Определитель обратной матрицы равен величине, обратной определителю прямой матрицы:

, откуда

4. Обратная матрица произведения квадратных матриц равна произведению обратных матриц сомножителей, взятых в обратном порядке: , так как

, вдобавок

есть обратная матрица .

5. Транспонированная обратная матрица равна обратной от транспонированной прямой матрицы:

, так как , , умножив на , получим

, что требовалось доказать.

Треугольные матрицы /7/ играют важную роль в матричной алгебре для дальнейшего изложения, поэтому полезно сформулировать их свойства и правила действий с ними. Эти свойства пояснены на примерах (см. Практические занятия), без доказательства в общем виде.

1. Определитель любой треугольной матрицы, как верхней, так и нижней,

равен произведению ее элементов на главной диагонали, так как такая матрица является неособенной только тогда, когда все ее диагональные элементы отличны от нуля.

2. Произведение двух треугольных матриц одного порядка (как верхних,

так и нижних) есть соответственно верхняя или нижняя треугольная матрица.

3. Произведение двух треугольных матриц одного порядка (верхней на

нижнюю или нижнюю на верхнюю) есть квадратная матрица общего вида того же порядка.

4. Справедливо обратное, очень важное утверждение: любая квадратная

матрица общего вида, у которой определители всех рангов отличны от нуля :

,

может быть представлена в виде произведения двух треугольных матриц (нижней и верхней, или верхней и нижней), но одного порядка .

5. Обратная матрица верхней (нижней) треугольной матрицы тоже верхняя

(нижняя) треугольная того же порядка. Для матрицы элементы обратной матрицы находятся через скалярные равенства из элементов исходной матрицы (при таких равенств 9) по не очень громоздким формулам /7/.

Ортогональной называется квадратная матрица порядка , у которой сумма квадратов элементов каждого столбца равна единице, а сумма произведений соответствующих элементов из двух разных столбцов равна нулю.

Ортогональную матрицу можно определить как матрицу, у которой обратная и транспонированная матрицы совпадают:

(1.25)

Определитель ортогональной матрицы равен

но:

то есть

Обратная матрица и транспонированная матрицы для ортогональной матрицы есть также ортогональные матрицы /7/.

Клеточные (блочные) матрицы. Прямоугольные (а часто и квадратные) матрицы бывает полезно разбить на клетки (блоки) прямыми (вертикальными и горизонтальными), и рассматривать клетки как матричные элементы данной матрицы /7/. По сути, такое разбиение уже было использовано для треугольных и трехдиагональных матриц, но линии разграничения блоков были наклонными.

Рассмотрим прямоугольную матрицу размером , разбита на 6 клеток:

где , … , - матричные элементы матрицы , называемые подматрицами . Разбиение матриц на клетки (блоки) может быть произведено различными способами, главное, чтобы это упростило трудоемкие операции над матрицами /4, 6/.

Пусть для квадратной неособенной матрицы порядка , которая представлена разбитой на 4 клетки /7/:

(1.26)

надо найти ей обратную , которую также представим клеточной той же структуры, что и матрица , причем разбиение выполнено так, что , , , - квадратные подматрицы, что возможно всегда:

(1.26а)

Так как , получим

(1.27)

откуда по правилам матричных операций следует

(1.28)

(1.29)

Заметим, что единичные и нулевые матрицы в разных строках (1.27), имеют в общем разный порядок, определенный разбиением на клетки в (1.26).

Вычтем из равенства (1.28) равенство (1.29), умноженное слева на После несложных матричных преобразований получим

(1.30)

из (1.29) найдем

(1.31)

и аналогично

(1.32)

(1.33)

Трудоемкость обращения матрицы порядка пропорциональна то есть при ее обращение одним из прямых методов (чел.дн., маш.час. и т.д.); путем же клеточного разбиения , а если матрица симметрична, то , то есть экономия трудозатрат в 2 и более раз. При более высоких порядках трудоемкость, естественно, возрастает, но и экономия трудозатрат по сравнению с прямыми методами возрастает гораздо быстрее.

Аналогично обычным диагональным и треугольным матрицам рассматривают клеточно-диагональные, клеточно-треугольные и клеточно-окаймленные матрицы; особое значение имеют клеточно-диагональные /7/; например, матрица порядка 7:

где , , - квадратные матрицы разных, в общем, порядков, в данном случае:

причем операции сложения и умножения таких матриц особенно просты.

Пример клеточно-окаймленной матрицы:

причем