4.1.Плоская задача теории упругости. Дифференциальные операторы в конечныхразностях.

При решении плоской задачи теории упругости (ТУ) в напряжениях σ_x=σ_x(x,y), σ_y=σ_y(x,y), τ_xy=τ_yx(x,y) получены дифуравнения равновесия

+ =0

+ -ρ=0 (4.1.1)

где проекции интенсивности объемных сил на оси x и y соответственно X и Y представлены только собственным весом (X=0,Y=ρ=const); и уравнение совместности (неразрывности) деформаций в компонентах напряжений

+ =0 (4.1.2)

или в операторной форме

=0 (4.1.2а)

где - гармонический оператор Лапласа второго порядка:

= , (4.1.2б)

(не путать (набла) с ∆ (дельта)).

Система трех дифуравнений (4.1.1) и (4.1.2) относительно трех неизвестных функций двух переменных x,y позволяет получить общее решение (семейство решений) плоской задачи; для получения частного, т.е. единственного решения, надо привлечь граничные, или контурные условия.

Система уравнений (4.1.1) и (4.1.2) м.б. сведена к одному уравнению, если ввести некоторую неизвестную функцию напряжений φ=φ(x,y), что было сделано английским математиком и астрономом Дж. Эри (Airy) в 1863г. Т.к. класс функций практически безграничен, то всегда найдется φ(x,y)=φ, которая связана с напряжениями через вторые производные:

= ; = ; = = - + ρx , (4.1.3)

при этом условия равновесия внутри тела (4.1.1) удовлетворяются тождественно. Подставив (4.1.3) в уравнение совместности (4.1.2) , получим т.наз. бигармоническое уравнение плоской задачи (уравнение Максвелла – Эри):

+ 2 + = 0 , (4.1.4)

или в операторной форме

= 0 , (4.1.4а)

где бигармонический оператор

∇⁴ = ∇²∇² = = +2 + . (4.1.4б)

При решении уравнения (4.1.4) д.б. учтены граничные условия (ГУ) , которые представляют собой заранее известные для контура S величины напряжений или перемещений . В напряжениях (статические ГУ) они имеют вид

X^* = lσ_x + mτ_xy

Y^* = lτ_xy + mσ_y , (4.1.5)

где l ,m - направляющие косинусы элемента контура dS с нормалью n , т.е. cos(∠n, i), i=x , y. Если элемент контура dS составляет с осью х угол α , то статические ГУ (4.1.5) можно переписать так:

X^* = σ_xsin α + τ_xycos α

Y^* = τ_xysin α + σ_ycos α . (4.1.5a)

Через X^* , Y^* обозначены проекции интенсивности внешней контурной нагрузки элемента dS соответственно на оси x , y .

Кинематические ГУ (в перемещениях при наличии опорных связей) также м.б. выражены через напряжения σ_x , σ_y , τ_xy = τ_yx .

Cмешанные ГУ – одно условие в напряжениях, а второе – в перемещениях.

Для прямоугольного диска, стороны которого параллельны координатным осям, ГУ любого типа записываются вообще очень просто.

Заметим, что при интегрировании дифуравнения (4.1.4) в его общем решерении присутствуют 8 произвольных функций, для разыскания которых надо иметь 8 дополнительных уравнений. Такими уравнениями и являются ГУ – для прямоугольника по 2 условия на каждой из четырех граней – не больше и не меньше.

Различают две разновидности плоской залачи ТУ – плоское напряженное состояние (ПНС) и плоская деформация (ПД)

В первом случае речь идет о тонком диске, произвольно нагруженном по контуру равномерно по толщине в плоскости диска; если же нагрузка неравномерна по толщине, но ее равнодействующая лежит в срединной плоскости диска, то ПНС называется обобщенным (ОПНС).

Во втором случае – длинное тело призматической или цилиндрической формы постоянного поперечного сечения под действием нагрузки, не меняющейся вдоль длинной оси, в средней части которого на достаточном удалении от торцов (в смысле принципа Сен-Венана) вырезан тонкий диск; причем в обоих случаях (ОПНС и ПД) толщина диска м.б. принята δ=1. Схема решения плоской задачи ТУ одинакова для ОПНС и ПД, разница в упругих постоянных из-за стесненной деформации соседних дисков вдоль длинной оси в случае ПД.

В условиях ПНС находятся стеновые панели и диафрагмы жесткости многоэтажных зданий, балки-стенки различных эстакад, мостов, сценических коробок, панели второго этажа над встроенными помещениями со сплошным остеклением, и т.д. В условиях ПД - плотины большой протяженности, подпорные стенки, обделки туннелей, толстостенные полые цилиндры типа орудийных стволов и т.п.

Ряд несложных (на сегодня) примеров плоской задачи решен аналитически: в полиномах и в других выражениях для функции напряжений φ (ряды Фурье, тригонометрические ряды и т.п.) - расчет верхней части плотины треугольного профиля; действие сосредоточенной силы на острие клина; изгиб балки на двух опорах равномерно–распределенной нагрузкой; изгиб консоли силой на конце; задачи Ж.Буссинеска и А.Фламана о действии силы на границе полуплоскости и

полупространства в полярных координатах; некоторые температурные задачи и т.д.

Перечисленные задачи можно отнести к точным аналитическим. В начале ХХв. появляются приближенные методы – прямые численные, к которым относится метод конечных разностей (МКР), и вариационные методы.

Выражения для дифференциальных операторов плоской задачи в конечныхразностях на регулярной сетке можно получить на основании замены некоторой функции f(x) на участке ЛОП (рис.4.1) параболой f=ax²+bx+c ; потребуем, чтобы в этих точках f(х) и аппроксимирующая парабола f совпадали точно:

=f_л ; f(x)_x=0=f₀ ; f(x)_x=∆x=f_п . Из этой системы уравнений

Рис.4.1.

найдем a, b, c ; уравнение параболы примет вид:

f = x²+ x+f₀ , (4.1.6)

а первая и вторая производные по x будут;

= x+ ; = . (4.1.6a)

При х=0 значения производных в конечных разностях

= ; = . (4.1.6б)

Аналогичную операцию проделаем для оси y , введя шаг сетки ∆y и помня, что смотреть надо снизу и справа, т.е.

- для оси х : п – правый узел, л – левый узел;

- для оси y : п – верхний узел, л – нижний узел.

Нанесем на рассматриваемую область V плоской задачи ТУ регулярную сетку с ячейкой ∆х и ∆y , и пронумеруем узлы, начиная с центрального узла к

(рис.4.2).

Рис.4.2.

Рис.4.3.

Используя символы частных производных относительно функции напряжений φ=φ(х,н), для узла к по аналогии с (4.1.6б) запишем производные:

= ; = ; (4.1.7)

= ; = , (4.1.7a)

смешанная производная:

= = . . .= . (4.1.8)

Производные четвертого порядка:

= = . . . = (4.1.9)

= = . . . = (4.1.9a)

смешанная производная:

= = . . . = (4.1.10)

Подставив разностные выражения для производных (4.1.8 – 4.1.10) в бигармоническое уравнение (4.1.4), получим для узла к внутри контура S конечно-разностный аналог :

(6 -4(

+ = 0, (4.1.11)

где

β = ∆y/∆x . (4.1.11a)

Для квадратной сетки ∆х=∆y=∆ , параметр β=1 и уравнение (4.1.11) упрощается:

20

+( + = 0 (4.1.12)

Таких алгебраических уравнений (4.1.11) или (4.1.12) надо составить столько, сколько в области S имеется внутренних узлов сетки.

4.2. Решение двумерных задач ТУ.. Бигармоническое уравнение плоской задачи (4.1.4) и его конечно-разностная аппроксимация (4.1.11) для случая, когда объемные силы представлены силой тяжести, является однородным. Кстати, в общем случае нагружения (напр., при воздействии вынужденных деформаций в температурной задаче), разрешающее уравнение (4.1.4) становится неоднородным, т.к. имеет ненулевую правую часть.

Для расчета высоких балок при h/l >0,2 – 0,5 (т.наз. балок стенок) МКР был применен Г.Баем (1931г.) и П.Л.Пастернаком (1934г.); последний показал, что при соблюдении определенного порядка записи болеетогоконечно –разностных уравнений полученная система всегда м.б. приведена к симметричному виду, более того, еематрица приобретает ленточную структуру с шириной ленты 13 элементов по числу узлов конечно разностного аналога (4.1.11), рис.4.2. Г.Бай в свое время не придал этому большого значения, посчитав, что для системы 36-го порядка взвод вычислителей справится с этой задачей примерно за месяц. При системах уравнений высокого порядка (сотен и тысяч неизвестных) это преимущество даже для мощных ПК не так уж малозначительно.

Для других двумерных задач ТУ, напр., изгиба упругой пластинки (по терминологии Б.Г.Галеркина, тонкой плиты), разрешающее дифуравнение имеет структуру (4.1.4), но является неоднородным. Оно было получено Лагранжем а затем в окончательной форме Софи Жермен в 1815г.:

= = q/D , (4.2.1)

где: w(x,y) – w - функция прогибов; D = EI(1 – μ²) – цилиндрическая жесткость; μ – коэффициент Пуассона.

Расчет балок-стенок по МКР. Рамная аналогия. Алгебраические уравнения (4.1.11) или (4.1.12), записанные для двух внутренних прилегающих к контуру рядов точек, будут содержать, кроме неизвестных значений φ во внутренних узлах, также значения функции напряжений в контурных и законтурных узлах сетки.

Пусть, к примеру, надо найти напряжения в 16-ти узлах сетки, нанесенной на балку-стенку, из которых 4 узла внутренних и 12 контурных узлов. Первые 4 уравнения (4.1.11) или (4.1.12) надо составить для внтренних узлов; в этой системе 4-х уравнений будет 32 неизвестных значения функции напряжений (4 для внутреннихузлов, 12 для контурных и 16 для законтурных узлов). Недостающие 28 уравнений надо определить из граничных условий (ГУ): по 2 ГУ для промежуточных узлов (относительно σ_х и τ_ху для правой и левой граней, σ_у и τ_ух

для верхней и нижней граней) , и по 3 ГУ для угловых точек (относительно σ_х,σ_у и τ_ху=τ_ух): 2х8+3х4=28 уравнений ГУ. Полная система уравнений имеет порядок 38.

Однако этот путь довольно громоздкий: на контуре напряжения и так известны, а для разыскания напряжений в четырех узлах пришлось составить и решить систему 38-го порядка Есть другой подход.

Если значения производной от функции напряжений в контурных узлах по нормали к контуру известны, то значения φ в законтурных точках можно найти через φ в точках внутри контура на основании выражений (4.1.7) и (4.1.7а).

Для верхнего края (рис. 4.3):

= , откуда = +2∆y . (4.2.2)

Для правого края :

= ; откуда =φ_d+2∆x . (4.2.3)

Аналогично можно найти значения φ в законтурных точках на нижнем и левом краях.

Легко показать, что значение нормальной производной / n , где n – внеш няя нормаль к контуру (х или y), оказывается суммой проекций на направление t (касательная к контуру) всех сил, действующих ра участке контура от фиксированной точки 0 до рассматриваемой точки k , а это есть продольная сила в точке k , т.е.:

= N_k . (4.2.4)

Можно также показать , что если рассмотреть контур балки-стенки как некоторую рамную систему при прочих равных условиях (конфигурация, размеры и нагрузка), то для контурных узлов сетки значения функции напряжений численно равны величинам изгибающих моментов в соответствующих сечениях заменяющей рамы :

φ_k=M_k . (4.2.5)

Формулы (4.2.4) и (4.2.5) выражают т.наз. рамную аналогию, которая заключается в следующем. При решении первой основной плоской задачи (когда на контуре известны напряжения), для любой односвязной области можно ее контур рассматривать как трижды статически неопределимую раму и выбрать любую основную систему метода сил (путем разреза или включения шарниров).

Эпюра изгибающих моментов, построенная для этой заменяющей рамы, и есть

эпюра функции напряжений, т.е. М в любом сечении рамы равно φ в этом же

узле сетки на контуре балки- стенки. Нормальная производная в произвольной точке контура представляет собой продольную силу N в этом же сечении заменяющей рамы. Отметим, что эпюры М и N можно построить, если это представляет удобство, и для статически неопределимой рамы, в этом случае жесткости всех элементов следует принять равными единице.

Выражения (4.2.2) и (4.2.3) с учетом (4.2.4) можно обобщить для функции напряжений в законтурных точках:

φ_зк=φ_пк+2∆n =φ_пк+2∆nN_k , (4.2.6)

где:

n – внешняя нормаль к контуру в точке к (х или у);

– производная от φ в точке к по нормали n (x или у);

φ_зк – значение φ в законтурной точке;

φ_пк – значение φ в предконтурной точке;

∆n – шаг сетки в направлении нормали (∆х для вертикальных граней и ∆у для горизонтальных граней);

N_k – продольная сила в сечении к стержня заменяющей рамы.

Правила знаков: изгибающий момент считается положительным, если растянуты внутренние волокна стержней заменяющей рамы; продольная сила положительна, если она вызывает растяжение.

Литература

1.Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры..М.:Госиздат,1950.-240с.

2.Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.:Наука,1976.-352с.

3.Калиткин Н.Н. Численные методы. М.:Наука,1978,-.512с.

4.Сигорский В.П. Математический аппарат инженера. М.:Техника,1975.-768с.

5.Постнов В.А. Численные методы расчета судовых конструкций.Л.:Судостроение,1976.-279с.

6.Корн Г.,Корн Т.Справочник по математике для научных работников и инженеров.М.:Наука,1984.-831с.

7.Жевержев В.Ф.,Кальницкий Л.А.,Сапогов Н.А.Специальный курс высшей математики для ВТУЗов.М.:ВШ,1970.-416с.

8.Варвак П.М.,Варвак Л.П. Метод сеток в задачах расчета строительных конструкций.М.:Стройиздат,1977.-158с.

9.Яременко А.Ф.,Балдук П.Г. Механика материалов и конструкций.-Одесса,2001.-254с.

10.Яременко А.Ф.,Яременко Е.А.,Ковров А.В. Применение метода конечных элементов.-Одесса,ОГАСА,2005.-120с.

11.Филин А.П. Прикладная механика твердого деформируемого тела.М.:Наука,1975.-832с.

12.Штельмер Я.,Дацко М.,ДоброчинскийС.,Вечорек М. Метод конечных элементов в статике сооружений./пер. с польского.М.:Строймздат,1986.-

13.Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике./Зенкевич О.-М.:Мир.1975.-542с.

14.Рвачев В.Л. R-функции в задачах теории пластин./Рвачев В.Л.,Курпа Л.В.-Киев.:Наукова думка.1987.-175с.

15.Бенерджи П.К.Методы граничных элементов в прикладных науках./Бенерджи П.К.,Баттерфилд Р. Под ред.Р.В.Гольдштейна.М.:Мир,1984.-494с.

16.Ионов В.Н.,Огибалов П.М. Прочность пространственных элементов конструкций.М.:ВШ,1972.-752с.

17.Каплан И.А. Практические занятия по высшей математике./ХГУ,Харьков,1972.-412с.

18.Форсайт Дж.,Малкольм М.,Моулер К. Машинные методы математических вычислений.М.:Мир,1980.