4. Вектори та операції з ними.
Векторами називаються величини, які характеризуються числовим значенням і напрямком і які складаються за правилом паралелограма (Рис. 1.4).
b
a
c = a+b
Рис. 1.4 Рис. 1.5
Величини, не зв’язані з напрямком у просторі, називаються скалярами. Числове значення вектора називається його модулем. При графічному зображенні вектора у вигляді стрілки її довжина пропорційна модулю вектора. У тексті та на рисунках вектор позначається літерою, зображеною жирним шрифтом (див. рис. 1.4) або такою ж літерою звичайним шрифтом, але зі стрілкою над нею. Наприклад, згідно з рис. 1.4:
Модуль вектора (який по суті є скаляром) позначається тією ж літерою звичайного шрифту без стрілки. Всі скалярні величини також позначаються літерами звичайного шрифту.
На практиці замість правила паралелограма для складання векторів часто користуються правилом трикутника, яке дає той самий результат (рис. 1.5).
b
= c – a
a
c
Рис. 1.6
Різницею двох
векторів
і
є такий вектор
,
який у сумі з вектором
дає вектор
(рис. 1.6): 
Для того, щоб геометрично побудувати різницю двох векторів, необхідно за допомогою паралельного перенесення векторів розташувати їх так, щоб були суміщені початки цих векторів. Тоді вектор, проведений із кінця від’ємника в кінець зменшуваного, дорівнює різниці цих векторів.
Вектор можна помножити на скаляр А. В результаті множення отримаємо новий вектор , модуль якого в А разів більший, ніж а. Напрямок вектора або співпадає з напрямком (якщо А 0), або протилежний йому (якщо А 0).
Враховуючи це, будь-який вектор можна представити у вигляді :
,
де
вектор, модуль
якого дорівнює 1, а напрямок співпадає
з напрямком вектора
.
Такий вектор називається ортом
вектора
.
Можна визначити також і орти координатних
осей (одиничні вектори в напрямку кожної
з осей). У випадку декартової системи
координат її орти мають спеціальні
позначення:
орт осі x
,
орт осі y
,
орт осі z
.
Н
ехай
деякий вектор
утворює у просторі кут
відносно осі х.
Опустимо перпендикуляри з початку і
кінця вектора на вісь (Рис. 1.7) і визначимо
відстань вздовж осі між ними :
Скалярна величина, визначена таким чином, називається проекцією вектора на вісь х. Вона може бути позитивною ( < 900), негативною ( > 900) або дорівнювати нулю ( = 900), в залежності від значення cos .
Будь-який вектор в декартовій системі координат може бути представлений через орти координатних осей і проекції на ці осі:
Проекцію вектора
на вісь не слід плутати із складовою
вектора вздовж цієї осі
(Рис. 1.7), яка по суті є не скаляром, а
вектором і дорівнює добутку проекції
вектора на вісь на орт цієї осі.
Кожний вектор можна задати за допомогою 3-х скалярних величин – координат радіус-вектора. Відповідно, кожне векторне рівняння можна рівноцінно замінити трьома скалярними і навпаки (наприклад, див. (1.1.1) і (1.1.2)).
Два вектори можна перемножувати між собою двома способами – скалярно і векторно.
Скалярний добуток двох векторів – це скаляр, чисельно рівний добуткові модулів цих векторів на косинус кута між ними (рис. 1.8):
. (1.1.3)
a
b Рис. 1.8
Векторний добуток двох векторів – це вектор, модуль якого дорівнює добуткові модулів цих векторів на синус кута між ними, а напрямок якого співпадає з напрямком перпендикуляра до площини, в якій лежать обидва вектори, і визначається за правилом правого гвинта (рис. 1.9):
(1.1.4)
Правило правого гвинта в даному випадку формулюється таким чином:
Я
кщо
розмістити гвинт вздовж нормалі до
площини, в якій знаходяться вектори, що
перемножуються, й обертати його в
напрямку від першого вектора до другого,
то поступальний рух гвинта при цьому
вкаже позитивний напрямок нормалі
(див. рис. 1.9).
Згідно з цим правилом, якщо поміняти місцями вектори і у формулі (1.1.4), то напрямок вектора зміниться на протилежний. Необхідно зазначити, що векторний добуток двох векторів (вектор ) має певні властивості, які відрізняють його від звичайних векторів (векторів і ). Внаслідок цього вектори такого типу, напрямок яких визначається за правилом правого гвинта, називаються псевдовекторами (або аксіальними векторами).
Для символічного позначення операцій множення векторів застосовуються: при скалярному множенні – крапка між позначеннями векторів (див. (1.1.3)), при векторному множенні – позначення векторів через кому, взяті в квадратні дужки (див. (1.1.4)).